10.2 复数的运算-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 基础练习 1. （ 1 ） -1-i （ 2 ） 6-2i （ 3 ） a+b<5 （ 4 ） 一 2. 【解析】 原式 = （ 1-2+3-4+ … +2017-2018 ） + （ -2+3-4+5+ … -2018+2019 ） i=-1009+1009i. 3. 3i 【解析】 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则 z+3i=a+ （ b+3 ） i 是 纯虚数， ∴a=0 ， b+3≠0 ， 又 ∵|z|=3 ， ∴ a 2 +b 2 姨 =3 ， ∴b=3 ， ∴z=3i. 4. 1 2 【解析】 ∵z 1 =cosα+isinα ， z 2 =cosβ-isinβ ， ∴z 1 -z 2 = （ cosα-cosβ ） +i （ sinα+sinβ ） = 5 13 + 12 13 i ， ∴ cosα-cosβ= 5 13 ， ① sinα+sinβ= 12 13 ， ， & & & & % & & & & ' ② ① 2 +② 2 得 2-2cos （ α+β ） =1 ， 即 cos （ α+β ） = 1 2 . 5. A 【解 析 】 设 复 数 z 与 复 平 面 内 的 点 Z 相 对 应 ， 由 △ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z 1 ， z 2 ， z 3 及 |z-z 1 |=|z- z 2 |=|z-z 3 | 可知点 Z 到 △ABC 的 三个顶点的距离相等， 由三角 形外心的定义可知， 点 Z 即为 △ABC 的外心， 故选 A. 6. 解： 设 z=a+bi （ a ， b∈R ）， 则 z=a-bi. ∵3z+z=4+4i ， ∴4a+2bi=4+4i ， ∴ a=1 ， b=2 2 ， ∴z=1+2i. 7. 解 ： （ 1 ） ∵ Ａ +, D = Ａ +, C - Ａ +, Ｂ = （ １ ， ４ ） - （ ３ ， ２ ） ＝ （ -２ ， ２ ）， ∴ 与Ａ +, D 对应的复数为 -２+２i. （ 2 ） D +, Ｂ=Ａ +, Ｂ-Ａ +, D= （ ３ ， ２ ） - （ -２ ， ２ ） ＝ （ ５ ， 0 ）， ∴ 与D +, Ｂ对应的复数为 5. （ 3 ） 由 （ 1 ） 可知 ｜Ａ +, D｜=2 2 姨 ， ｜Ａ +, Ｂ｜= 13 姨 ， ｜D +, Ｂ｜=5 ， 由余 弦定理， 求得 cos∠BAD= 8+13-25 2 · 2 2 姨 · 13 姨 = -4 4 26 姨 ， ∴cos∠BAD= -1 26 姨 ， ∴sin∠BAD= 5 26 姨 . S △ABD = 1 2 · ｜Ａ +, Ｂ｜ · ｜Ａ +, D｜ · sin∠BAD ， S △APB = 1 2 S △ABD = 5 2 . 8. 解： 设 z=x+yi （ x ， y∈R ） . ∵|z|=2 ， ∴x 2 +y 2 =4 ， ∴ 复数 z 在复平面内对应的点在圆心为点 C （ 0 ， 0 ）， 半 径 r=2 的圆上， ∴|z+1+ 3 姨 i | 表示圆上的点到 （ -1 ， - 3 姨 ） 的距离 . 又 ∵ （ -1 ， - 3 姨 ） 在圆 x 2 +y 2 =4 上， ∴ 圆上的点到点 （ -1 ， - 3 姨 ） 的距离的最小值为 0 ， 最 大值为圆的直径， ∴|z+1+ 3 姨 i| max =4 ， |z+1+ 3 姨 i| min =0. 提升练习 1. B 【解析】 设 z 1 =a 1 +b 1 i ， z 2 =a 2 +b 2 i ， a 1 ， b 1 ， a 2 ， b 2 ∈R ， 则 z 1 -z 2 = （ a 1 +b 1 i ） - （ a 2 +b 2 i ） = （ a 1 -a 2 ） + （ b 1 -b 2 ） i. 若 z 1 -z 2 是虚数， 则 b 1 -b 2 ≠0 ， 所以 b 1 ， b 2 不能都为零， 即 “ z 1 ， z 2 中至少有一个数是虚 数”， 则 b 1 ， b 2 至少有一个不为 0 ， 但是有可能 b 1 -b 2 =0 ， 比如 1+i ， 2+i 都是虚数， 但是他们的差为实数， 所以 “ z 1 ， z 2 中至少有一个数是虚数” 是 “ z 1 -z 2 是虚数” 的必要不充分条件， 故选 B. 2. 【解析】 因为 z 1 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i ， z 2 =-2+m （ m-3 ） i ， 所 以 z 1 +z 2 = m 2 +m m+2 + （ m-15 ） i-2+m （ m-3 ） i= m 2 -m-4 m+2 + （ m 2 - 2m-15