10.3 复数的三角形式及其运算-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 8. A 【解析】 本题主要考查复数相关知识 . a+3i 1+2i = （ a+3i ）（ 1-2i ） 5 = a+6+ （ 3-2a ） i 5 ， 所以 a=-6. 提升练习 1． 1+i 1-i i " 2019 = （ 1+i ） 2 2 2 $ 2019 =i 2019 =i 3 =-i. 2. A 【解析】 ∵ （ 1+bi ）（ 2+i ） =2-b+ （ 1+2b ） i ， 复数 （ 1+bi ）（ 2+i ） （其中 i 为虚数单位） 在复平面内对应 的点位于第四象限， 则 2-b>0 ， 1+2b<0 0 ， ∴b<- 1 2 ， 则 b 的取值范围是 b<- 1 2 . 所以 A 选项是正确的 . 3. A 【解析】 i （ x+yi ） =-y+xi ， 5i 2-i = 5i （ 2+i ） 5 =-1+2i ， 根据 两复数相等的充要条件得 x=2 ， y=1 ， 即 x+yi=2+i ， 其共轭复 数为 x-yi=2-i. 故答案为 A. 4. 1 6 【解析】 由题意知这是一个古典概型， 试验发生包 含的事 件 数是 6×6=36 ， 而 满 足 条件 的 事 件是 使 得 复数 （ m+ ni ）（ n-mi ） 为实数， 先计算出复数 （ m+ni ）（ n-mi ） 为实数时 n 和 m 的 值 . ∵ 复 数 （ m+ni ） （ n-mi ） =2mn+ （ m 2 -n 2 ） i 为 实 数 ， ∴m 2 -n 2 =0 ， ∴m=n ， ∴ 满足条件的事件数是 6 ， ∴ 复数 （ m+ni ）（ n-mi ） 为实数的概率是 6 36 = 1 6 . 故答案为 1 6 . 5. 解： （ 1 ） z= （ 1-2i+i 2 ） +1+3i=1+i ， |z|= 1+1 姨 = 2 姨 . （ 2 ） ∵z 2 +az+b=1-i ， z=1+i ， 所以 （ 2+a ） i+a+b=1-i ， 所以 a+2=-1 ， a+b=1 0 ， 解得 a=-3 ， b=4. 6. （ 1 ） 设 z 1 =x+yi （ x ， y∈R ）， 则 z 2 =-x+yi ， ∵ z 1 （ 1-i ） =z 2 （ 1+i ）， |z 1 |= 2 姨 ， ∴ （ x+yi ）（ 1-i ） = （ -x+yi ）（ 1+i ）， x 2 +y 2 =2 0 ， ∴ x=1 ， y=-1 0 ， 或 x=-1 ， y=1 0 ， 即 z 1 =1-i 或 z 1 =-1+i. （ 2 ） ∵z 1 的虚部大于零， ∴z 1 =-1+i ， ∴z 1 =-1-i ， 则有 m -1+i + （ -1-i ） =n+i ， ∴ - m 2 -1=n ， - m 2 -1=1 1 * * * * ) * * * * + ， ∴ m=-4 ， n=1 0 . 7. 解： 复数 z= （ 1+i ） 3 （ a+bi ） 1-i = （ 1+i ） 4 （ a+bi ） （ 1-i ）（ 1+i ） =-2a-2bi. 由 |z|=4 ， 得 a 2 +b 2 =4 ① ， ∵ 复数 0 ， z ， z 对应的点构成正三角形， ∴|z-z|=|z|. 把 z=-2a-2bi 代入化简得 |b|=1 ②. 又 ∵z 对应的点在第一象限， ∴a<0 ， b<0 ③. 由 ①②③ 得 a=- 3 姨 ， b=-1 0 ， 故所求值为 a=- 3 姨 ， b=-1. 8. 解： （ 1 ） ∵z 1 =2+i ， 2z 2 = z 1 +i （ 2i+1 ） -z 1 ， ∴z 2 = 1 2 × （ 2+i ） +i （ 2i+1 ） - （ 2+i ） = 1 2 × 2+2i -1+i = 1+i -1+i =- 2i 2 =-i. （ 2 ） 在 △ABC 中， B=60° ， A+C=120° ， ∴u+z 2 =cosA+2icos 2 C 2 -i=cosA+i 2cos 2 C 2 - i " 1 =cosA+icosC ， ∴|u+z 2 | 2 =cos 2 A+cos 2 C= 1+cos2A 2 + 1+cos2C 2 =1+ 1 2 （ cos2A+cos2C ） =1+cos （ A+C ） cos （ A-C ） =1+cos120°cos （ A-C ） =1- 1 2 cos （ A-C ） . 又 ∵A+C=120° ， ∴A-C=120°-2C ， ∴-120°＜A-C＜120° ， ∴- 1 2 ＜cos （ A-C ） ≤1 ， ∴ 1 2 ≤1- 1 2 cos （ A-C ） ＜ 5 4 ， ∴|u+z 2 | 2 的取值范围是 2 姨