11.3 空间中的平行关系-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

第四册 （人教 B 版）高 中 数 学 必 修 ∥ ∥ 在 △RA 1 N 中， B 1 Q A 1 N = RB 1 RA 1 ， ∴B 1 Q= 4 12 ×4= 4 3 （ cm ） ． 在 Rt△PB 1 Q 中， ∵PB 1 =4 cm ， B 1 Q= 4 3 cm ， ∴PQ= 4 2 + 4 3 3 $ 2 姨 = 4 10 姨 3 （ cm ） . 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 基础练习 1. D 【解析】 在同一平面内没有公共点的两条直线， 故 选 D. 2. B 【解析】 如图所示， ∵l∥ 平面 α ， P∈α ， ∴ 直线 l 与点 P 确定一个平面 β ， α∩β=m ， ∴P∈m ， ∴l∥m 且 m 是唯一的， 故选 B. 3. D 【解析】 ① 等价于 a 和 b 既不相交， 又不平行， 故 a ， b 是异面直线； ② 等价于 a ， b 不同在同一平面内， 故 a ， b 是异面直线， 故选 D. 4. D 【解析】 A 项错， 若点与 a 所确定的平面与 b 平行， 就不能使这个平面与 a 平行了 . B 项错， 若点与 a 所确定的平面与 b 平行， 就不能作一 条直线与 a ， b 相交 . C 项错， 假如这样的直线存在， 根据基本性质 4 就可有 a∥b ， 这与 a ， b 异面矛盾 . D 项正确， 在 a 上任取一点 A ， 过 A 点作直线 c∥b ， 则 c 与 a 确定一个平面与 b 平行， 这个平面是唯一的， 故选 D. 5. 两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线 【解析】 要判断两异面直线在同一平 面 内的 正 投 影的 情 况， 即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形， 如图 ① 可知正投影是两条相交直线； 如图 ② 可知正投影是两 条平行直线； 如图 ③ 可知正投影是一个点和一条直线 . 6. 2 【解析】 如图所示， 过定点 P 作 a ， b 的平行线 a′ ， b′ ， 因 a ， b 成 50° 角， ∴a′ 与 b′ 也成 50° 角 . 过 P 作 ∠A′PB′ 的 平 分 线 ， 取 较 小 的 角 ∠A′PO =∠B′PO=25°. 又 ∵∠APA′＞ ∠A′PO ， ∴ 过 P 作 直 线 l 与 a′ ， b′ 成 30° 角的直线有 2 条 . 7. a 2 4 - b 2 【解 析 】 由 已 知 AC+BD=a ， AC · BD=b ， 所 以 AC 2 + BD 2 = a 2 ， AC 2 · BD 2 = b 4 ， 即 EF+EH= a 2 ， EF · EH= b 4 ， 故 EF 2 +EH 2 = （ EF+EH ） 2 -2EF · EH= a 2 4 - b 2 . 8. 解： 取 AB ， AD ， DC ， BD 中点为 E ， F ， G ， M ， 连接 EF ， FG ， GM ， ME ， EG. 则 MG∥ 1 2 BC ， EM∥ 1 2 AD D + + + + * + + + + , . ∵AD⊥BC ， ∴EM⊥MG. 在 Rt△EMG 中， EG= 1 2 2 $ 2 + 3 姨 2 2 $ 2 姨 =1. 在 △EFG 中， ∵EF= 1 2 BD= 13 姨 4 ， FG= 1 2 AC= 3 姨 4 ， ∴EF 2 +FG 2 =EG 2 ， ∴EF⊥FG ， 即 AC⊥BD ， ∴AC 和 BD 所成角为 90°. 提升练习 1. D 【解析】 若直线 l∥ 平面 α ， 则过 l 作平面与 α 相交 所 得 的 直线 a ， b ， c ， … 都 平行 ； 若 l∩α=P ， 则直 线 a ， b ， c ， …都相交于同一点 P ， 故选 D. 2. C 【解析】 如果 m奂α ， n∥α ， m ， n 共面， 根 据 线 面 平行的性质定理， 则 m∥n ， 故选项 C 正确 . 在选项 A 中， n 与 α 可能相交 . 在选项 B 中， n 与 α 可能平行 . 在选项 D 中， m 与 n 可能相交 . 故选 C. 3. B 【解析】 因为四棱柱中每个面都有四个点， 但这四 个点中没有三点是共线的， 所以 ① 错； 因为三点不共线但四 点可以共面， 所以 ④ 错 . 故选 B. 4. ④ 【解析】 由平面的基本性质 2 知， 不共线的三点才 能确定一个平面， 所以命题 ①② 均错， ② 中有可能出现两平 面只有一条公共线 （当这三个公共点共线时） . ③ 中空间两两 相交的三条直线有三个交点或一个交点， 若为三个交点， 则 这三条直线共面， 若只有一个交点， 则可能确定一个平面或 三个平面 . 因为在正方体 ABCD