第十章 复数（综合测试卷）-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

参 考 答 案 所以 tan兹= 3 姨 3 ， 2sin兹cos兹=cos兹 兹 ， 解得 兹=2kπ+ π 6 （ k∈Z ） . （ 2 ） 因为 z 1 与 z 2 关于 x 轴对称， 所以 cos兹＝ 3 姨 sin兹 ， sin2兹=-cos兹 兹 ， 所以 兹=kπ+ π 6 ， 2sin兹cos兹=-cos兹 兹 ， 解得 兹=2kπ+ 7 6 π （ k∈Z ） . （ 3 ） 因为 |z 2 |< 2 姨 ， 所以 （ 3 姨 sin兹 ） 2 + （ cos兹 ） 2 姨 < 2 姨 . 所以 sin 2 兹< 1 2 ， 解得 kπ- π 4 <兹<kπ+ π 4 （ k∈Z ） . 9. 【解析】 （ 1 ） 设 z=r （ cos兹+isin兹 ） （ r＞0 ， 0≤兹＜2π ）， 代入已知条件不等式得 r+ a r r ' cos兹+i r- a r r r sin兹 ≤1 ， ∴ r+ a r r r 2 cos 2 兹+ r- a r r r 2 sin 2 兹 ≤1 ， 即 r 2 + a 2 r 2 ≤1-2acos2兹 ， ① ∵-cos2兹≤1 ， ∴r 2 + a 2 r 2 ≤1+2a ， 即 r 4 - （ 1+2a ） r 2 +a 2 ≤0 ， 解得 4a+1 姨 -1 2 r r 2 ≤r 2 ≤ 4a+1 姨 +1 2 r r 2 ， 故 4a+1 姨 -1 2 ≤|z|≤ 4a+1 姨 +1 2 r r . （ 2 ） 在 ① 式 中 取 a=1 ， 得 cos2兹≤ 1 2 - 1 2 r 2 + 1 r 2 r r ≤ 1 2 - 1=- 1 2 . ∴2kπ+ 2π 3 ≤2兹≤2kπ+ 4π 3 ， 即 kπ+ π 3 ≤兹≤kπ+ 2π 3 （ k 为 整 数 ） . 故 当 k=0 ， 1 时 ， 有 π 3 ≤兹≤ 2π 3 或 ４π 3 ≤兹≤ 5π 3 . 第十章综合测试卷 一、 选择题 1. A 【解析】 （ 2+i ）（ 1-i ） 2 1-2i = - （ 2+i ） 2i 1-2i = 2-4i 1-2i =2 ， 故选 A. 2. D 【解析】 由题意， 得 z= （ 1-i ） 2 1+i = -2i 1+i =-1-i ， 故选 D. 3. A 【解析】 因为复数 z= （ x 2 -1 ） + （ x+1 ） i 为纯虚数， 所以 x 2 -1=0 ， x+1≠0 兹 ， ∴x=1. 因为 “ x=1 ” 是 “ x=1 ” 的充要条件， 所以 “ x=1 ” 是 “复数 z= （ x 2 -1 ） + （ x+1 ） i 为 纯虚数 ” 的充 分必要条件 . 故答案为 A. 4. A 【解析】 方法一： 复数 1 2 + 3 姨 2 r r i 2020 = cos π 3 +isin π 3 r r 2020 =cos 2020π 3 +isin 2020π 3 = cos 4π 3 +isin 4π 3 =-cos π 3 -isin π 3 = - 1 2 - 3 姨 2 i. 复数 1 2 + 3 姨 2 r r i 2020 的共轭复数是 - 1 2 + 3 姨 2 i. 方法二： 1 2 + 3 姨 2 r r i 3 =-1 ， 1 2 + 3 姨 2 r r i 2020 = 1 2 + 3 姨 2 r r i 3 3 + 673 1 2 + 3 姨 2 2 r i = - 1 2 + 3 姨 2 2 r i =- 1 2 - 3 姨 2 i. 所以复数 1 2 + 3 姨 2 2 r i 2020 的共轭复数是 - 1 2 + 3 姨 2 i. 所以 A 选项是正确的 . 5. D 【解析】 z= a 1-2i +i= a （ 1+2i ） （ 1-2i ）（ 1+2i ） +i= a 5 + 2a+5 5 i ， ∵ 复数 z= a 1-2i +i （ a∈R ） 的实部与虚部互为相反数， ∴- a 5 = 2a+5 5 ， 解得 a=- 5 3 . 故选 D. 6. A 【解析】 由 3-4i 3 = 2-bi a+i ， 得 3+4i= 2-bi a+i ， 即 （ a+i ）（ 3+ 4i ） =2-bi ， （ 3a-4 ） + （ 4a+3 ） i=2-bi ， 则 3a-4=2 ， 4a+3=-b b ， 解得 a=2 ， b=-11 b ， 故 a+b=-9 ， 故选 A. 7． B 【解析】 方法一： 由 z= 4i 1+i = 4i （ 1-i ） （ 1+i ）（ 1-i ） =2+2i ， 得 |z|= |z|= 2 2 +2 2 姨 =2 2 姨 ， 故选 B. 法二： 由模的性质，