专题20 数列综合问题的探究-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题20 数列综合问题的探究 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2020年高考北京】在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差 ， 则其通项公式为： ， 注意到 ， 且由 可知 ， 由 可知数列 不存在最小项， 由于 ， 故数列 中的正项只有有限项： ， . 故数列 中存在最大项，且最大项为 . 故选：B． 2、【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b， ，则 A． 当 B． 当 C． 当 D． 当 【答案】A 【解析】①当b=0时，取a=0，则 . ②当 时，令 ，即 . 则该方程 ，即必存在 ，使得 ， 则一定存在 ，使得 对任意 成立， 解方程 ，得 ， 当 时，即 时，总存在 ，使得 ， 故C、D两项均不正确. ③当 时， ， 则 ， . （ⅰ）当 时， ， 则 ， ， ， 则 ， ， 故A项正确. （ⅱ）当 时，令 ，则 ， 所以 ，以此类推， 所以 ， 故B项不正确. 故本题正确答案为A. 3、【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和 ，则d+q的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意 . 等差数列 的前 项和公式为 ， 等比数列 的前 项和公式为 ， 依题意 ，即 ， 通过对比系数可知 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故 . 故答案为： . 4、【2018年高考江苏卷】已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得 成立的n的最小值为___________． 【答案】27 【解析】所有的正奇数和 按照从小到大的顺序排列构成 ，在数列| 中，25前面有16个正奇数，即 .当n=1时， ，不符合题意；当n=2时， ，不符合题意；当n=3时， ，不符合题意；当n=4时， ，不符合题意；……；当n=26时， ，不符合题意；当n=27时， ,符合题意.故使得 成立的n的最小值为27. 5、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列 的前 项和为 ， ， ，则 __________；若 时， 的最大值为__________. 【答案】26 807 【解析】 ∵ ， ， ∴ ， ， ， ， ，…… ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； 由 可知 ， ， 故 时， 的最大值为807； 故答案为：26；807． 6、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 【解析】（1）设 的公比为 ，由题设得 即 . 所以 解得 （舍去）， . 故 的公比为 . （2）设 为 的前n项和.由（1）及题设可得， .所以 ， . 可得 所以 . 【问题探究，变式训练】 题型一、错位相减法求和 例1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 . 【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则 ， 解得 . 所以 . （Ⅱ）因此 . 所以 ， ， 相减得 . 故： . 变式1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列 的前 项和为 ，且 ，在正项等比数列 中 ， ． （1）求 和 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和． 【解析】（1）当 时， ， 当 时， = = ， 所以 ． 所以 ， 于是 ，解得 或 （舍） 所以 = ． （2）由以上结论可得， 所以其前n项和 = = -得， = = 所以 = ． 变式2、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n． （1）求q的值； （2）求数列{bn}的通项公式． 【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. （1）由 是 的等差中项得 ， 所以 ， 解得 . 由 得 ， 因为 ，所以 . （2）设 ，数列 前n项和为 . 由 解得 . 由（1）可知 ， 所以 ， 故 ， . 设 ， 所以 ， 因此 ， 又 ，所以 . 题型二、裂项相消法法求和 例2、（2