考点20 数列的综合运用-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）

考点20 数列的综合运用 1、 掌握数列求和以及数列通项的一些常用的方法和技巧 2、 掌握数列与不等式、函数的综合性问题的解决策略 3、 掌握数列有关的证明以及参数 4、 掌握与数列有关的定义型问题 5、 纵观全国或者各地区的高考试题，数列的地位尤为突出，在许多地区出现在压轴题的位置，所涉及的知识点和题型主要为：1、数列与不等式、函数的综合性问题，2、数列有关的证明以及含参问题，3、与数列有关的定义型问题 数列在高考中主要体现在中档题和压轴题中，中档题主要考察数列的基本量等问题，压轴题体现在1、数列与不等式、函数的综合性问题，2、数列有关的证明以及含参问题，3、与数列有关的定义型问题等问题中，因此在平时复习中掌握常见题型的解题思路。 1、【2018年高考江苏卷】已知集合 ， ．将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得 成立的n的最小值为___________． 2、【2020年全国2卷】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列 ， 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 的序列是（ ） A. B. C. D. 3、【2020年北京卷】.已知 是无穷数列．给出两个性质： ①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ； ②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ． (Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列. 4、【2020年江苏卷】.已知数列 的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列 是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列 是“ ”数列，且an＞0，求数列 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 5、【2020年天津卷】已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 6、【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ， . （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 7、【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若 ，则称新数列 为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列． （1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列； （2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 ．若p<q，求证： < ； （3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式． 8、【2019年高考天津卷理数】设 是等差数列， 是等比数列．已知 ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 ． （i）求数列 的通项公式； （ii）求 ． 9、【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an} 满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn} 满足: ，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有 成立，求m的最大值． 10、【2019年高考浙江卷】设等差数列 的前n项和为 ， ， ，数列 满足：对每个 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）记 证明： 11、【2018年高考全国II卷理数】记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求 的最小值． 题型一、数列中的证明或不等式问题 1、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 ， （ ，且 ） （1）求数列 的通项公式； （2）证明：当 时， 2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列 满足 ， ，正项数列 满足 ，且 是公比为3的等比数列. （1）求 及