1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 由散点图可以认为样本点大致分布在某条直线的附近,因 此可以用线性回归模型来拟合. 设线性回归方程为 ŷ = â + b̂x, 列出下表: i 1 2 3 4 5 xi(个) 10 20 30 40 50 yi(min) 62 68 75 81 89 xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 i 6 7 8 9 10 xi(个) 60 70 80 90 100 yi(min) 95 102 108 115 122 xiyi 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 　 　 所以 x = 55,y≈91. 7,b̂ = ∑ 10 i = 1 xiyi - 10x y ∑ 10 i = 1 x2i - 10x 2 = 55 950 - 10 × 55 × 91. 7 38 500 - 10 × 552 ≈0. 668,â = y - b̂ x≈91. 7 - 0. 668 × 55≈ 54. 96. 因此,线性回归方程为 ŷ = 0. 668x + 54. 96. 将数据代入相应公式可得如下数据表: 零件数 x(个) 10 20 30 40 50 加工时间 y(min) 62 68 75 81 89 (yi - y) 2 882. 09 561. 69 278. 89 114. 49 7. 29 ŷ = 0. 668x + 54. 96 61. 64 68. 32 75. 0 81. 68 88. 36 残差 0. 36 - 0. 32 0 - 0. 68 0. 64 零件数 x(个) 60 70 80 90 100 加工时间 y(min) 95 102 108 115 122 (yi - y) 2 10. 89 106. 09 265. 69 542. 89 918. 09 ŷ = 0. 668x + 54. 96 95. 04 101. 72 108. 4 115. 08 121. 76 残差 - 0. 04 0. 28 - 0. 4 - 0. 08 0. 24 　 　 所以总偏差平方和为 3 688. 1,残差平方和为 1. 408,相关指 数 R2 = 1 - 1. 408 3 688. 1 ≈0. 999 6. (2)作出残差图如图,横坐标为零件数的数据,纵坐标为残 差. (3)由题中数据可得样本相关系数 r 的值为 0. 999 8,再结 合散点图可以说明 x 与 y 有很强的线性相关关系. 由 R2 的值可 以看出回归效果很好,也说明用线性回归模型拟合数据效果很 好. 由残差图也可以观察到,第 4 个样本点和第 5 个样本点的 残差比较大,需要确认在采集在这两个样本点的过程中是否有 人为的错误. 　 　 典例试做 4:∵ R2甲 = 1 - ∑ 5 i = 1 (yi - ŷi) 2 􀰑 5 i = 1 (yi - 􀭰y) 2 = 1 - 155 1 000 = 0. 845, R2乙 = 1 - ∑ 5 i = 1 (yi - 􀭰yi) 2 ∑ 5 i = 1 (yi - 􀭰y) 2 = 1 - 180 1 000 = 0. 82, ∴ R2甲 > R 2 乙. ∴ 甲模型拟合的效果更好. 　 　 跟踪练习 4:D　 根据线性相关的知识,散点图中各样本点 条状分布越均匀,同时保持殊差平方和越小,由回归分析建立的 线性回归模型的拟合效果越好,由试验结果知丁要好些,故选 D. 　 　 典例试做 5:(1) 由散点图可以判断,模型 y = c + d x 更可 靠. (2) 建 立 Y 关 于 w 的 线 性 回 归 方 程 ŷ = d̂ w + ĉ, 则 d̂ = 􀰐 6 i = 1 wiyi - 6 w y 􀰐 6 i = 1 w2i - 6 w 2 = 4. 8 0. 60 = 8, ∴ ĉ = y - d̂w = 4. 22 - 0. 377 5 × 8 = 1. 2,∴ Y 关于 w 的线性 回归方程为ŷ = 1. 2 + 8w, 因此,Y 关于 x 的回归方程为ŷ = 1. 2 + 8 x . 当 x = 20 时,预 测该书每册的成本费为ŷ = 1. 2 + 8 20 = 1. 6(元). 课堂达标·固基础 1. A　 相关指数 R2 越大,表示回归模型的效果越好. 2. C　 回归方程的系数b̂ = - 2 可知,x 每增加一个单位,则 y 平 均减少 2 个单位,故选 C. 3. D　 由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象 附近,因此,最适合作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的 是 y = a + blnx. 故选 D. 4. 6. 5　 当 x = 600 时,ŷ