第一章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 章末整合提升 专题突破·启智能 　 　 典例试做 1:(1)散点图,如图所示. 　 　 由图可知,x,y 线性相关. (2)x 与 y 的关系可以用线性回归模型来拟合,不妨设回归 模型为 ŷ = â + b̂x. 将数据代入相应公式可得数据表: 序号 零件个 数 xi(个) 加工时间 yi(min) xiyi x 2 i 1 10 62 620 100 2 20 72 1 440 400 3 30 75 2 250 900 4 40 81 3 240 1 600 5 50 85 4 250 2 500 6 60 95 5 700 3 600 7 70 103 7 210 4 900 8 80 108 8 640 6 400 9 90 112 10 080 8 100 10 100 127 12 700 10 000 ∑ 550 920 56 130 38 500 　 　 ∴ x = 55,y = 92, 　 　 ∴ b̂ = ∑ 10 i = 1 xiyi - 10 x　 y ∑ 10 i = 1 x2i - 10 x 2 = 56 130 - 10 × 55 × 92 38 500 - 10 × 552 = 553 825 ≈0. 670, â = y - b̂ x = 92 - 553 825 × 55 = 827 15 ≈55. 133, ∴ 回归直线方程为 ŷ = 0. 670x + 55. 133. (3)利用所求回归方程求出下列数据. ŷi 61. 833 68. 533 75. 233 81. 933 88. 633 yi - ŷi 0. 167 3. 467 - 0. 233 - 0. 933 - 3. 633 yi - y - 30 - 20 - 17 - 11 - 7 ŷi 95. 333 102. 033 108. 733 115. 433 122. 133 yi - ŷi - 0. 333 0. 967 - 0. 733 - 3. 433 4. 867 yi - y 3 11 16 20 35 　 　 ∴ R2 = 1 - ∑ 10 i = 1 (yi - ŷi) 2 ∑ 10 i = 1 (yi - y) 2 ≈0. 983. 　 　 (4)∵ êi = yi - ŷi,利用上表中数据作出残差图,如图所示. 　 　 (5)由散点图可以看出 x 与 y 有很强的线性相关性,由 R2 的值可以看出回归效果很好. 　 　 由残差图也可观察到,第 2、5、9、10 个样本点的残差比较 大,需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误. 　 　 典例试做 2:(1)设年龄 x 与身高 y 之间的回归直线方程. ŷ = b̂x + â,由公式 b̂ = ∑ n i = 1 xiyi - n x y ∑ n i = 1 x2i - n x 2 ≈6. 314, â = y - b x = 72. 000,所以 ŷ = 6. 314x + 72. 000. (2)如果年龄相差 5 岁,则预报变量变化 6. 314 ×5 =31. 570. (3)如果身高相差 20 cm,年龄相差 Δx = 20 6. 314 = 3. 168≈3. (4)∑ n i = 1 ê2i = ∑ n i = 1 (yi - ŷi) 2 ≈4. 53, ∑ n i = 1 (yi - y) 2 = ∑ n i = 1 y2i - n y 2 ≈7 227. 2, y 90. 8 97. 6 104. 2 110. 9 115. 6 122. 0 128. 5 ŷ 90. 9 97. 3 103. 6 109. 9 116. 2 122. 5 128. 8 y 134. 2 140. 8 147. 6 154. 2 160. 9 167. 5 173. 0 ŷ 135. 1 141. 5 147. 8 154. 1 160. 4 166. 7 173. 0 　 　 R2 ≈0. 999, 所以残差平方和为 4. 53,相关指数为 0. 999,故该函数模型 能够较好地反映年龄与身高的关系. 　 　 典例试做 3: (1) 由表格可知, 该市 100 天中, 空气中的 PM2. 5 浓度不超过 75,且 SO2 浓度不超过 150 的天数有 32 + 6 + 18 + 8 = 64 天, 　 　 所以该市一天中,空气中的 PM2. 5 浓度不超过 75,且 SO2 浓度不超过 150 的概率为 64 100 = 0. 64; 　 　 (2)由所给数据,可得 2 × 2 列联表为: 　 　 　 　 　 SO2 PM2. 5　 　 　 　 (50,150] (150,47