第一章 1.4 空间向量的应用（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

新教材·高中新课程学习指导 |MN | = (3 - 1) 2 + (2 - 0) 2 + (1 - 5) 2 = 2 6, 所以线段 MN 的长度为 2 6 . (2)因为点 P(x,y,z)到 M,N 两点的距离相等,所以有下面等式成 立: (x - 3) 2 + (y - 2) 2 + ( z - 1) 2 = (x - 1) 2 + (y - 0) 2 + ( z - 5) 2 , 化简得 x + y - 2z + 3 = 0, 因此,到 M,N 两点的距离相等的点 P(x,y,z)的坐标满足的条件是 x + y - 2z + 3 = 0. 易错警示 　 　 典例 5:由题意可知 a∥b, 所以 m 1 = m2 + 3m - 6 2 = n - 1, 即 m2 + 3m - 6 = 2m, n = - m,{ 解得 m = - 3, n = 3{ 或 m = 2, n = - 2.{ 当 m = - 3,n = 3 时,b = ( - 3, - 6,3) = - 3a,向量 a,b 反向,不符 合题意,舍去; 当 m = 2,n = - 2 时,b = (2,4, - 2) = 2a,向量 a,b 同向,符合题意. 综上,m = 2,n = - 2. 课堂检测·固双基 1. B　 比较选项中各向量,观察哪个向量符合 λa = (0,λ,0)的形式,经 过观察,只有 c = - a. 2. D　 由已知得 | a | = 2, | b | = 2 2,a·b = 0, 所以由(ka + b)·(a + kb) = 2 可得 k | a | 2 + k | b | 2 + (k2 + 1)a·b = 2, 即 2k + 8k = 2,解得 k = 15 . 3. C　 根据空间中两点间距离,得 |AB | = (1 -2)2 + (2 +2)2 + (2 -1)2 = 3 2 . 故选 C. 4. - 12 , 1 2 ,0( )　 设 H(x,y,z),则OH → = (x,y,z),BH→ = (x,y - 1,z - 1), OA→ = ( - 1,1,0) . 因为 BH⊥OA,所以BH→·OA→ = 0,即 - x + y - 1 = 0　 ① 又点 H 在直线 OA 上, 所以OA→ = λ OH→,即 - 1 = λx, 1 = λy, 0 = λz { 　 ② 联立①②解得 x = - 12 , y = 12 , z = 0. ì î í ï ï ïï 所以点 H 的坐标为 - 12 , 1 2 ,0( ). 5. (1)2a - 3b = 2(2, - 1, - 2) - 3(1,1, - 4) = (4, - 2, - 4) - (3,3, - 12) = (1, - 5,8) . |2a - 3b | = 12 + ( - 5) 2 + 82 = 3 10. (2)cos〈a,b〉 = a·b| a | | b | = 9 3 × 3 2 = 22 , 又〈a,b〉∈[0,π],故〈a,b〉 = π4 . 1. 4　 空间向量的应用 1. 4. 1　 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 1 课时　 空间中点、直线和平面的向量表示及 空间中直线、平面的平行 必备知识·探新知 　 　 思考1:直线的方向向量不是唯一的,它们都是共线向量. 解题时,可 以选取坐标最简的方向向量. 　 　 思考 2:一个平面的法向量不是唯一的,一个平面的所有法向量共 线. 在应用时,可以根据需要进行选取. 　 　 思考 3:证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路 (1)转化为线线关系,然后利用两个向量的关系进行判定;(2)利用 直线的方向向量和平面的法向量进行判定. 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:如图所示建立空间直角坐标系. 依题意可得 D(0,0,0),P(0,0,1), E 0, 12 , 1 2( ),B(1,1,0), 于是DE→ = 0, 12 , 1 2( ),DB → = (1,1,0). 设平面 EDB 的法向量为 n = (x,y,z), 则 n⊥DE→,n⊥DB→,于是 n·DE→ = 12 y + 1 2 z = 0, n·DB→ = x + y = 0,{ 取 x = 1,则 y = - 1,z = 1, 故平面 EDB 的一个法向量为 n = (1, - 1,1) . 　 　 对点训练 1:分析:先设出平面 A1DE、平面 A1B1CD 的法向量,利用 法向量与平面内的两个向量的数量积为零,列出方程组求解. 解析:∵ 四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD 均为正方形,∴ AA1 ⊥AB, AA1⊥AD,AB⊥AD 且 AA1 = AB = AD,以 A 为原点,分别