1.1.3 导数的几何意义（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 (3)v = lim Δt→0 Δs Δt = lim Δt→0 (4t + 2Δt) = 4t = 4 × 2 = 8(cm / s). 　 　 跟踪练习 1:B　 由 s(t) = t3 - 2,得 s′(t) = lim Δt→0 (t + Δt)3 - 2 - (t3 - 2) Δt = lim Δt→0 3t2 + 3t·Δt + Δt2 = 3t2 , 所以 s′(1) = 3. 则物体在 t = 1 s 时的瞬时速度为 3 m / s. 故选 B. 　 　 典 例 试 做 2: 当 x = 2 时, Δy = ( 2 + Δx )2 + 1 2 + Δx + 5 - 22 + 1 2 + 5( ) = 4Δx + (Δx)2 + - Δx2(2 + Δx), 所以 Δy Δx = 4 + Δx - 1 4 + 2Δx , 所以 y′ | x = 2 = lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 4 + Δx - 1 4 + 2Δx( ) = 4 + 0 - 1 4 + 2 × 0 = 15 4 . 　 　 跟踪练习 2:因为 Δy = (1 + Δx) + 1 1 + Δx - (1 + 1) = Δx + 1 1 + Δx - 1, 所以 Δy Δx = 1 - 1 1 + Δx , 所以 lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 (1 - 1 1 + Δx ) = 0. 　 　 典例试做 3:运动方程为 s = 1 2 at2 . 因为 Δs = 1 2 a(t + Δt)2 - 1 2 at2 = atΔt + 1 2 a(Δt)2 , 所以 Δs Δt = at + 1 2 aΔt. 所以 lim Δt→0 Δs Δt = at. 由题意知,a = 5 × 105 m / s2 ,t = 1. 6 × 10 - 3 s, 所以 at = 8 × 102 = 800(m / s), 即子弹射出枪口的瞬时速度为 800 m / s. 　 　 跟踪练习 3:(1)∵ 物体在 t∈[3,5] 内的时间变化量为 Δt = 5 - 3 = 2, 位移变化量为 Δs = 3 × 52 + 2 - (3 × 32 + 2) = 3 × (52 - 32 ) = 48, ∴ 物体在 t∈[3,5]内的平均速度为 Δs Δt = 48 2 = 24(m / s). (2)求物体的初速度 v0 ,即求物体在 t = 0 时的瞬时速度. ∵ 物体在 t = 0 附近位移的平均变化率为 Δs Δt = f(0 + Δt) - f(0) Δt = 29 + 3[(0 + Δt) - 3] 2 - 29 - 3(0 - 3)2 Δt = 3Δt - 18, ∴ 物体在 t = 0 处位移的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt = lim Δt→0 (3Δt - 18) = - 18, 即物体的初速度 v0 = - 18 m / s. (3) 物体在 t = 1 时的瞬时速度即为物体在 t = 1 处位移的瞬时变 化率. ∵ 物体在 t = 1 附近位移的平均变化率为 Δs Δt = f(1 + Δt) - f(1) Δt = 29 + 3[(1 + Δt) - 3] 2 - 29 - 3(1 - 3)2 Δt = 3Δt - 12, ∴ 物体在 t = 1 处位移的瞬时变化率为 lim Δt→0 Δs Δt = lim Δt→0 (3Δt - 12) = - 12, 即物体在 t = 1 时的瞬时速度为 - 12 m / s. 　 　 典例试做 4:A　 lim k→0 f(x0 - k) - f(x0) 2k = - 1 2 lim k→0 f[x0 + ( - k)] - f(x0) - k = - 1 2 f ′(x0 ) = - 1 2 × 2 = - 1,故应选 A. 课堂达标·固基础 1. A　 ∵ 函数 f(x) = x2 - 1 的自变量 x 由 1 变成 1. 1,所以 Δx = 1. 1 - 1 = 0. 1,Δy = (1. 12 - 1) - (12 - 1) = 0. 21, ∴ Δy Δx = 0. 21 0. 1 = 2. 1. 故选 A. 2. D　 该质点在 t =1 时的瞬时速度为 -6, 故选 D. 3. A　 ∵ lim Δx➝0 f(x0 - 3Δx) - f(x0 ) 2Δx = ( - 3 2 ) lim Δx➝0 f(x0 - 3Δx) - f(x0 ) - 3Δx = ( - 3 2 )f ′(x0 ) = 1, ∴ f ′(x0 ) = - 2 3 ,故选 A. 4. 设这辆汽车在 3 s 到(3 + Δt) s 这段时间