2.1.1 合情推理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 即时巩固 1. C　 ∵ f ′(x) = 2ax + b,∴ f ′(0) = b > 0; ∵ 对于任意实数 x 都有 f(x) ≥ 0, ∴ a > 0 且 b2 - 4ac ≤ 0,∴ b2 ≤ 4ac,∴ c > 0, ∴ f(1) f ′(0) = a + b + c b = a + c b + 1 ≥ 2 ac b + 1 ≥ 1 + 1 = 2, 当 a = c 时取等号. 故选 C. 2. C　 令 f(x) = sin 2x 1 - cos x ,∵ f(1) = sin 2 1 - cos 1 > 0,f(π) = sin 2π 1 - cos π = 0, ∴ 排除选项 A,D. 由 1 - cos x ≠ 0,得 x ≠ 2kπ(k ∈ Z), 故函数 f(x) 的定义域关于原点对称. 又 ∵ f( - x) = sin( - 2x) 1 - cos( - x) = - sin 2x 1 - cos x = - f(x), ∴ f(x) 为奇函数,其图象关于原点对称, ∴ 排除选项 B. 故选 C. 3. B　 ∵ f(x) = x3 + ax - 2 在[1, + ∞ ) 上是增函数, ∴ f ′(x) = 3x2 + a ≥ 0 在[1, + ∞ ) 上恒成立, 即 a ≥ - 3x2 在[1, + ∞ ) 上恒成立, 又 ∵ 在[1, + ∞ ) 上,( - 3x2 ) max = - 3, ∴ a ≥ - 3,故应选 B. 4. 1　 因为 f(x) = ax3 + x + 1,所以f(1) = a + 2, f ′(x) = 3ax2 + 1,f ′(1) = 3a + 1,所以在点(1,f(1)) 处的切线方程 为 y - (a + 2) = (3a + 1)(x - 1), 又因为切线过点(2,7),所以 7 - (a + 2) = (3a + 1) × (2 - 1),解之 得 a = 1. 5. 32 27 　 ∵ y = cos3 x + sin2 x - cosx = cos3 x + (1 - cos2 x) - cosx = cos3 x - cos2 x - cosx + 1,令 t = cosx,则 - 1 ≤ t ≤ 1,则 y = t3 - t2 - t + 1, 则 y′ = 3t2 - 2t - 1 = (3t + 1)(t - 1),令 y′ = 0,解得 t = - 1 3 或 t = 1,列表如下: t [ - 1, - 13 ) - 1 3 ( - 1 3 ,1) y′ + 0 - y 增 极大值 3227 减 故函数 y = t3 - t2 - t + 1 在 t = - 1 3 时取得极大值,亦即最大值,即 ymax = 32 27 . 6. (1)f(x) 的定义域为( - ∞ , + ∞ ), f ′(x) = 2ae2x + (a - 2)ex - 1 = (aex - 1)(2ex + 1). (ⅰ) 若 a ≤ 0,则f ′(x) < 0,所以 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 单调递减. (ⅱ) 若 a > 0,则由f ′(x) = 0 得 x = - ln a. 当 x ∈ ( - ∞ , - ln a) 时,f ′(x) < 0; 当 x ∈ ( - ln a, + ∞ ) 时,f ′(x) > 0. 所以 f(x) 在( - ∞ , - ln a) 单调递减,在( - ln a, + ∞ ) 单调递增. (2)(ⅰ) 若 a ≤ 0,由(1) 知,f(x) 至多有一个零点. (ⅱ) 若 a > 0,由(1) 知,当 x = - ln a 时,f(x) 取得最小值,最小值为 f( - ln a) = 1 - 1 a + ln a. ① 当 a = 1 时,由于 f( - ln a) = 0,故 f(x) 只有一个零点; ② 当 a ∈ (1, + ∞ ) 时,由于 1 - 1 a + ln a > 0, 即 f( - ln a) > 0,故 f(x) 没有零点; ③ 当 a ∈ (0,1) 时,1 - 1 a + ln a < 0,即 f( - ln a) < 0. 又 f( - 2) = ae -4 + (a - 2)e -2 + 2 > - 2e -2 + 2 > 0, 故 f(x) 在( - ∞ , - ln a) 有一个零点. 设正整数 n0 满足 n0 > ln( 3 a - 1), 则 f(n0) = e n0(aen0 + a - 2) - n0 > e n0 - n0 > 2 n0 - n0 > 0. 由于 ln( 3 a - 1) > - ln a, 因此 f(x) 在( -