2.1.2 演绎推理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

数学 （选修 2 - 2·人教 A 版） 圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径) 的中点 的连线垂直于弦 球心与 截 面 圆 ( 不 是 大 圆) 的圆 心 的 连 线 垂 直 于截面 与圆心距离相等的两弦相等; 与圆心距离不等的两弦不等, 距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截 面圆是等圆; 与球心距离不等的两截 面圆不等,距球心较近的 截面圆较大 圆的切线垂直于经过切点的 半径; 经过圆心且垂直于切线的直 线必经过切点 球的切面垂直于经过切 点的半径; 经过球心且垂直于切面 的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直 线必经过圆心 经过切点且垂直于切面 的直线必经过球心 圆的周长 C = πd 球的表面积 S = πd2 圆的面积 S = πr2 球的体积 V = 4 3 πr3 　 　 跟踪练习 3:四面体 　 二面角 　 面积 　 表面积 　 体积 　 　 典例试做4:在四面体 V - BCD 中,任取一点 O,连接 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点,则OE VE + OF DF + OG BG + OH CH = 1. 证明:在四面体 O - BCD 与 V - BCD 中,设 底面 BCD 上的高分别为 h′,h,则 OE VE = h′ h = = 1 3 S△BCD ·h′ 1 3 S△BCD ·h = VO-BCD VV-BCD . 同理有:OF DF = VO-VBC VD-VBC ;OG BG = VO-VCD VB-VCD ;OH CH = VO-VBD VC-VBD , ∴ OE VE + OF DF + OG BG + OH CH = VO-BCD + VO-VBC + VO-VCD + VO-VBD VV-BCD = VV-BCD VV-BCD = 1. 　 　 跟踪练习4: 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = 1 h2 　 如图所示,设 A 在底面的射影为 O,连接 BO 并延长交 CD 于 E. 连接 AE,由 AB ⊥ AC,AB ⊥ AD 得 AB ⊥ 平 面 ACD. ∴ AB ⊥ AE. 设 AE = h1 ,在 △ABE 中,由已知可得 1 a2 + 1 h21 = 1 h2 . 又易证 CD ⊥ 平面 ABE, ∴ CD ⊥ AE. 在 △ACD 中有 1 h21 = 1 b2 + 1 c2 , ∴ 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = 1 h2 . 　 　 典例试做 5:(1) 已知 a1 = 1,an+1 = 2an + 1,则 a2 = 2 × 1 + 1 = 3,a3 = 2 × 3 + 1 = 7,a4 = 2 × 7 + 1 = 15,a5 = 2 × 15 + 1 = 31. (2) 由 a1 = 1 = 2 1 - 1, a2 = 3 = 2 2 - 1, a3 = 7 = 2 3 - 1, a4 = 15 = 2 4 - 1, a5 = 31 = 2 5 - 1, 可归纳猜想出 an = 2 n - 1(n ∈ N∗ ). 　 　 跟踪练习 5:由 a1 = 3,an+1 = a 2 n , 得 a2 = 3 2 ,a3 = (3 2 )2 = 322 ,a4 = (3 22 )2 = 323 , a5 = (3 23 )2 = 324 ,…,an = 3 2n-1 (n = 1,2,…). 证明如下: 由条件知 an > 0,于是 lgan+1 = lga 2 n = 2lgan(n = 1,2,…). 又因为 lga1 ≠0,故{lgan } 是以2 为公比的等比数列,进而得 lgan = 2n-1 lg3 = lg32n-1 ,即 an = 3 2n-1 (n = 1,2,…). 　 　 典例试做 6:④　 ①② 中,loga (x + y) 与 sin(x + y) 都是一个整体, 而 a(b + c) 中 a 与 b + c是两个各自独立的部分,它们之间没有可类比性; ③ 中由 a,b 两数的积,类比到 a,b 两向量的数量积,类比形式正确,但类 比结论错误;④ 中,将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到 空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比,将角的两边,类比到二面角 的两个面,类比形式正确,易证类比结论也是正确的. 课堂达标·固基础 1. A　 观察可发现规律:① 每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现 一次,② 每行、每列有两阴影一空白,即得结果. 2. B　 由题意得,1 × 9 + 2 = 11,12 × 9 + 3 = 111,123 × 9 + 4 = 1111, 1234 × 9 + 5 = 11111,12345 × 9 + 6 = 111111, 可得 n 位数与 9 相乘加