2.2.1 椭圆及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） 由d = | MF | , 整理得 x2 - 8y + 16 = 0, 即 y = 1 8 x2 + 2. 故所求点 M 的轨迹方程是 y = 1 8 x2 + 2. 　 　 跟踪练习 3:设动点 P 坐标为(x,y),则动点 P 到直线 x = 8 的距离 d = | x - 8 | ,到点 A 的距离 | PA | = (x - 2)2 + y2 ,由已 知 d = 2 | PA | ,得 | x - 8 | = 2 (x - 2)2 + y2 , 化简得 3x2 + 4y2 = 48. 故动点的轨迹方程为 3x2 + 4y2 = 48. 　 　 典例 4:设 P(x,y),M(x0 ,y0 ). 因为AP→ = (x + 3,y - 5),AM→ = (x0 + 3,y0 - 5), 所以(x + 3,y - 5) = 1 3 (x0 + 3,y0 - 5). 所以 x + 3 = 1 3 x0 + 1, y - 5 = 1 3 y0 - 5 3 , ì î í ïï ïï 即 x0 = 3x + 6, y0 = 3y - 10. { 因为点 M(x0 ,y0 )在圆 O 上, 所以 x20 + y 2 0 = 4, 即(3x + 6)2 + (3y - 10)2 = 4, 即(x + 2)2 + (y - 10 3 )2 = 4 9 . 故动点 P 的轨迹方程为(x + 2)2 + y - 103( ) 2 = 4 9 . 　 　 跟踪练习 4:设点 M 的坐标是( x,y),点 P 的坐标是( xP, yP). 因为点 D 是 点 P 在 x 轴 上 的 投 影, M 为 PD 上 一 点, 且 | MD | = 4 5 | PD | ,所以 xP = x,且 yP = 5 4 y. 因为 P 在圆 x2 + y2 = 25 上, 所以 x2 + 54 y( ) 2 = 25,整理得 x 2 25 + y 2 16 = 1, 即点 M 的轨迹 C 的方程是 x 2 25 + y 2 16 = 1. 　 　 典例 5:设点 P(x,y),由 M( - 1,0),N(1,0), 得PM→ = - MP→ = ( - 1 - x, - y), MN→ = (2,0), PN→ = - NP→ = (1 - x, - y), ∴ MP→·MN→ = 2(x + 1),PM→·PN→ = x2 + y2 - 1, NM→·NP→ = 2(1 - x). 于是,MP→·MN→,PM→·PN→,NM→·NP→是公差小于零的等差数 列等价于: x2 + y2 - 1 = 1 2 [2(x + 1) + 2(1 - x)], 2(1 - x) - 2(x + 1) < 0, { 即 x2 + y2 = 3, x > 0.{ ∴ 点 P 的轨迹方程为 x2 + y2 = 3(x > 0). 跟踪练习 5:设 M(x,y),由已知得 B(x, - 3),A(0, - 1),所 以MA→ = ( - x, - 1 - y),MB→ = (0, - 3 - y),AB→ = (x, - 2). 由题 意可知(MA→ + MB→) ·AB→ = 0,即( - x, - 4 - 2y) ·(x, - 2) = 0, 整理化简得 y = 1 4 x2 - 2. 所以曲线 C 的方程为 y = 1 4 x2 - 2. 典例 5:依题意,由 y = x 2 - 2x + 2 y = kx{ , 分别消去 x、y 得,(k2 - 1)x2 + 2x - 2 = 0, ① (k2 - 1)y2 + 2ky - 2k2 = 0. ② 设 AB 的中点为 P(x,y),则在①②中分别有 x = x1 + x2 2 = 1 1 - k2 ,　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ③ y = y1 + y2 2 = k 1 - k2 , ④ ì î í ï ï ïï 又对②应满足: k2 - 1≠0 Δ = 4k2 - 4 × ( - 2k2 ) × (k2 - 1) > 0 y1 + y2 = 2k 1 - k2 > 0 y1 ·y2 = 2k2 1 - k2 > 0 ì î í ï ï ï ï ïï , 解得 2 2 < k < 1. 结合③④,则有 x > 2,y > 2. 所以所求轨迹方程是 x2 - y2 - x = 0(x > 2,y > 2). 课堂达标·固基础 1. B　 根据曲线方程的概念“ 曲线 C 的方程是f(x,y) = 0” 包含 “曲线 C 上的点的坐标都是这个方程 f(x,y) = 0 的解” 和“以 方程 f(x,y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”两层含义. 2.