2.3.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） 所以所求双曲线的标准方程为 x2 5 - y2 = 1. (2)因为双曲线的焦点在 y 轴上, 所以设它的标准方程为 y2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0). 因为 2a = 6,2c = 10,所以 a = 3,c = 5. 所以 b2 = 52 - 32 = 16. 所以所求双曲线标准方程为 y2 9 - x 2 16 = 1. 2. 3. 2　 双曲线的简单几何性质 第 1 课时　 双曲线的简单几何性质 新知导学 　 　 1. F1 ( - c,0),F2 (c,0) 　 F1 (0, - c),F2 (0,c) 　 | F1 F2 | = 2c　 x≤ - a　 x≥a　 y≤ - a　 y≥a　 坐标轴　 原点　 A1 ( - a, 0),A2 (a,0)　 A1 (0, - a),A2 (0,a) 　 A1 A2 　 2a　 B1 B2 　 2b　 a 　 b　 c a 　 (1, + ∞ )　 y = ± ba x　 y = ± a b x 2. x2 - y2 = ± a2 预习自测 1. A　 ∵ 双曲线 x 2 a2 - y 2 b2 = 1 的实轴长为 2a,∴ 双曲线 x 2 4 - y2 = 1 的实轴长为 2a = 4. 2. C　 由题意可得 b a = 1,∴ e = 　 1 + b 2 a2 = 1 + 12 = 2. 故 选 C. 3. A　 因为双曲线的标准方程为 y 2 4 - x2 = 1,则它的渐近线方程 为:y = ± 2x. 故选 A. 4. B　 5. 3 3 　 双曲线 x 2 a2 - y2 = 1(a > 0) 的渐近线方程为 y = ± 1 a x, 3x + y = 0⇒y = - 3x,∵ a > 0,则 - 1 a = - 3,a = 3 3 . 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:将 9y2 - 4x2 = - 36 变形为 x 2 9 - y 2 4 = 1, 即 x2 32 - y 2 22 = 1,∴ a = 3,b = 2,c = 13, 因此顶点为 A1 ( - 3,0),A2 (3,0), 焦点坐标为 F1 ( - 13,0),F2 ( 13,0), 实轴长是 2a = 6,虚轴长是 2b = 4, 离心率 e = c a = 13 3 , 渐近线方程 y = ± b a x = ± 2 3 x. 作草图如图: 　 　 跟踪练习 1:由题意知 a2 = 3,b2 = 4, 所以 c2 = a2 + b2 = 3 + 4 = 7,解得 a = 3,b = 2,c = 7. 因此,双曲线的实轴长 2a = 2 3,虚轴长 2b = 4. 顶点坐标为( - 3,0)、( 3,0), 焦点坐标为( - 7,0)、( 7,0). 　 　 典例 2:(1)设双曲线方程为 y 2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0). 由题 意知 a b = 2 3 . 又∵ 双曲线过点 P( 6,2),∴ 4 a2 - 6 b2 = 1, 依题意可得 a b = 2 3 4 a2 - 6 b2 = 1 ì î í ïï ïï ,解得 a2 = 4 3 b2 = 3 { . 故所求双曲线方程为 y2 4 3 - x 2 3 = 1. (2)设所求双曲线方程为 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0). ∵ e = 5 3 ,∴ e2 = c 2 a2 = a 2 + b2 a2 = 1 + b 2 a2 = 25 9 , ∴ b a = 4 3 . 由题意得 b a = 4 3 9 a2 - 12 b2 = 1 ì î í ïï ïï ,解得 a2 = 9 4 b2 = 4 { . ∴ 所求的双曲线方程为 x 2 9 4 - y 2 4 = 1. (3)设双曲线方程为 4x2 - 9y2 = λ( λ≠0),即 x 2 λ 4 - y 2 λ 9 = 1 (λ≠0),由题意得 a = 3. 当 λ > 0 时, λ 4 = 9,λ = 36,双曲线方程为 x 2 9 - y 2 4 = 1; 当 λ <0 时, -λ 9 =9,λ = -81,双曲线方程为y 2 9 -4x 2 81 =1. 故所求双曲线方程为 x2 9 - y 2 4 = 1 或 y 2 9 - 4x 2 81 = 1. 　 　 跟踪练习 2: x 2 4 - y2 = 1　 设双曲线方程为 y2 - 1 4 x2 = λ, 代入点(4, 3),可得 3 - 1 4 × 16 = λ, ∴ λ = - 1,∴ 双曲线的标准方程是 x 2 4 - y2 = 1. 故答案为 x2 4 - y2 = 1.