2.3.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 即有 cos∠MF1 F2 + cos∠NF2 F1 = 0, 可得 c2 - 2ac - a2 2c2 + c - a 2c = 0, 化为 2c2 - 3ac - a2 = 0, 得 2e2 - 3e - 1 = 0,解得 e = 3 + 17 4 或 e = 3 - 17 4 (舍去). 　 　 跟踪练习 3:D　 由题意可得 - b a = tan130°, 所以 e = 1 + b 2 a2 = 1 + tan2130° = 1 + sin 2130° cos2130° = 1 | cos130° | = 1 cos50° . 故选 D. 　 　 典例 4:设双曲线方程为 y 2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0),因为离 心率 e = c a = 5 2 ,所以 a = 2b,所以所求双曲线方程为 y 2 4 - x2 = b2 . 设 Q(x,y)为双曲线上一点,依题意 | PQ | = x2 + (y - 5)2 = 5 4 (y - 4)2 + 5 - b2 , 其中 y≥2b,若 2b≤4,当 y = 4 时,| PQ | 最小 = 2. 从而,5 - b2 = 4,即 b2 = 1, 双曲线方程为 y2 4 - x2 = 1. 若 2b > 4,当 y = 2b 时,| PQ | 最小 = 2,从而 5 4 (2b - 4)2 + 5 - b2 = 4,所以 b = 7 2 或 b = 3 2 (与 b > 2 矛盾). 所以双曲线方程为 y2 49 - 4x 2 49 = 1. 故所求双曲线方程为 y2 4 - x2 = 1 或 y 2 49 - 4x 2 49 = 1. 　 　 跟踪练习 4:A　 双曲线 x 2 4 - y 2 2 = 1 的右焦点坐标为( 6, 0),一条渐近线的方程为 y = 2 2 x,不妨设点 P 在第一象限,由于 | PO | = | PF | ,则点 P 的横坐标为 6 2 ,纵坐标为 2 2 × 6 2 = 3 2 ,即 △PFO 的底边长为 6,高为 3 2 ,所以它的面积为 1 2 × 6 × 3 2 = 3 2 4 . 故选 A. 　 　 典例 5:B　 ∵ 双曲线的焦点在 x 轴上,故其渐近线方程为 y = b a x,则 tanα = b a . ∵ π 4 < α < π 3 , ∴ 1 < tanα < 3,即 1 < b a < 3, ∴ 1 < b 2 a2 = c 2 - a2 a2 < 3, 求得 2 < c a < 2. 故选 B. 　 　 跟踪练习 5:[ 5 2 , 5] 　 直线 l 的方程为 x a + y b = 1,即 bx + ay - ab = 0. 由点到直线的距离公式,且 a > 1,得到点(1,0) 到直线 l 的距离 d1 = b(a - 1) a2 + b2 ,点( - 1,0)到直线 l 的距离 d2 = b(a + 1) a2 + b2 ,s = d1 + d2 = 2ab a2 + b2 = 2ab c . 由 s≥ 4 5 c,得2ab c ≥ 4 5 c, 即 5a c2 - a2 ≥2c2 . 于是得 5 e2 - 1 ≥2e2 ,即 4e4 - 25e2 + 25≤0. 解不等式,得 5 4 ≤e2 ≤5,由于 e > 1,所以 e 的取值范围是 5 2 ≤e≤ 5. 故填 5 2 , 5[ ]. 　 　 典例 6:C　 当焦点在 x 轴上时 b a = 3 4 ,∴ e = c a = 1 + b 2 a2 = 5 4 , 当焦点在 y 轴上时, a b = 3 4 ,∴ e = c a = 1 + b 2 a2 = 5 3 ,故 选 C. 课堂达标·固基础 1. A　 双曲线方程化为标准形式:y2 - x 2 - 1 m = 1, 则有:a2 = 1,b2 = - 1 m , 由题设条件知,2 = - 1 m ,∴ m = - 1 4 . 2. A　 由双曲线 C: x 2 a2 - y 2 9 = 1(a > 0),可得双曲线的焦点在 x 轴上, 设渐 近 线 方 程 为 y = ± b a x, 又 已 知 渐 近 线 方 程 为 y = ± 3 2 x,b = 3, 可得 a = 2,故选 A. 3. D　 由双曲线方程 x 2 a2 - y2 = 1,得 b2 = 1,∴ c2 = a2 + 1. ∴ 5 = e2 = c 2 a2 = a 2 + 1 a2 = 1 + 1 a2 . 结合 a > 0,解得 a = 1 2 . 故选 D. 4. x 2 12 - y 2 8 = 1　 解法一:设双曲线方程为 x 2 a2 - y 2 b2