2.4.1 抛物线及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

数学 (选修 2 - 1·人教 A 版） 2. 4　 抛物线 2. 4. 1　 抛物线及其标准方程 新知导学 　 　 1. 距离相等　 定点 F　 定直线 l　 2. F( p 2 ,0)　 x = - p 2 　 y2 = 2px(p > 0)　 F( - p 2 ,0) 　 x = p 2 　 y2 = - 2px(p > 0) 　 F (0, p 2 )　 y = - p 2 　 x2 = 2py(p > 0)　 F(0, - p 2 ) 　 y = p 2 　 x2 = - 2py(p > 0)　 3. 焦点弦　 2p 预习自测 1. D　 抛物线 y = - 4x2 的方程可化为 x2 = - 1 4 y, 可得 p = 1 8 ,∴ 准线方程为 y = 1 16 . 故选 D. 2. D　 ∵ 由题意知, p = 1 4 , p 2 = 1 8 , ∴ 焦点坐标是(0, 1 8 ). 故选 D. 3. D　 ∵ 抛物线 y2 = mx 的焦点坐标为(2,0), ∴ m > 0,且 2p = m. 又 p 2 = 2,∴ p = 4,∴ m = 8. 4. B　 由题意,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(0,2),则设抛物 线方程为 x2 = 2py,p > 0,所以, p 2 = 2,即 p = 4,故抛物线方程 为:x2 = 8y. 故选 B. 5. 6　 如图,抛物线 y2 =4x 的准线 l 的方程为 x = -1,焦点 F(1,0), 过点 A 作 AA′⊥l,A′为垂足,AA′与抛物线的交点 P,|PF| = |PA′|, ∴ |PF| + |PA|的最小值为|AA′| =6. 互动探究·攻重难 　 　 典例 1:抛物线方程 y = ax2 (a≠0)化为标准形式:x2 = 1 a y, 当 a > 0 时,则 2p = 1 a ,解得 p = 1 2a , p 2 = 1 4a , ∴ 焦点坐标是(0, 1 4a ),准线方程是 y = - 1 4a . 当 a < 0 时,则 2p = - 1 a , p 2 = - 1 4a . ∴ 焦点坐标是(0, 1 4a ),准线方程是 y = - 1 4a , 综上,焦点坐标是(0, 1 4a ),准线方程是 y = - 1 4a . 　 　 跟踪练习 1:B　 由抛物线 y2 = 2px(p > 0)得准线 x = - p 2 , 因为准线经过点( - 1,1),所以 p = 2,所以抛物线焦点坐标为 (1,0),故选 B. 　 　 典例 2:(1) 设所求的抛物线方程为 y2 = - 2px( p > 0) 或 x2 = 2py(p > 0), ∵ 过点( - 1,2),∴ 4 = - 2p·( - 1)或( - 1)2 = 2p·2. ∴ p = 2 或 p = 1 4 . 故所求的抛物线方程为 y2 = - 4x 或 x2 = 1 2 y, 对应的准线方程分别为 x = 1,y = - 1 8 . (2)令 x = 0 得 y = - 2,令 y = 0 得 x = 4, ∴ 抛物线的焦点为(4,0)或(0, - 2). 当焦点为(4,0)时, p 2 = 4, ∴ p = 8,此时抛物线方程 y2 = 16x; 当焦点为(0, - 2)时, p 2 = | - 2 | , ∴ p = 4,此时抛物线方程为 x2 = - 8y. 故所求的抛物线方程为 y2 = 16x 或 x2 = - 8y,对应的准线 方程分别是 x = - 4,y = 2. 　 　 跟踪练习 2:(1)∵ 抛物线的准线方程为 y = - 1, ∴ 焦点在 y 轴正半轴上,且 p 2 = 1,∴ p = 2, ∴ 抛物线的方程为 x2 = 4y. (2)∵ 焦点到准线距离为 2,∴ p = 2. 又∵ 焦点在 x 轴正半轴上,∴ 抛物线方程为 y2 = 4x. 　 　 典例 3:解法一:设抛物线方程为 y2 = 2px( p > 0),则焦 点F( p 2 ,0), 由题设可得 m2 = 6p m2 + (3 - p 2 )2 = 5{ , 解之得 p = 4 m = 2 6{ ,或 p = 4 m = - 2 6{ . 故所求的抛物线方程为 y2 = 8x,m 的值为 ± 2 6. 解法二:设抛物线方程为 y2 = 2px(p > 0),焦点 F( p 2 ,0), 准线方程 x = - p 2 ,根据抛物线定义,点 M 到焦点的距离等于 M 到准线的距离,则 3 + p 2 = 5,∴ p = 4. 因此抛物线方程为 y2 = 8x. 又点 M(3,m)在抛物线上,于是 m2 = 24,∴ m = ± 2 6. 　 　 跟踪练习 3:(1)3　 (2)2 解析:(1)抛物线