2.4.1 抛物线及其标准方程（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-1）

▲ 209 ▲ ▲ 210 ▲ PF1 →·PF2→ = 0, ∴ PF1 ⊥PF2 ,∵ tan∠PF1 F2 = 1 3 ,∴ | PF2 | | PF1 | = 1 3 , 设 | PF2 | = x,则 | PF1 | = 3x, ∴ | F1 F2 | = 2c = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = 9x2 + x2 = 10x, 由双曲线定义得 2a = | PF1 | - | PF2 | = 3x - x = 2x, ∴ 该双曲线的离心率 e = c a = 2c 2a = 10 2 . 故选 B. 7. 1　 根据对称性, x 2 4 - y2 = 1 焦点坐标 F( 5,0),渐近线方 程为 y = 1 2 x,即 x - 2y = 0, 焦点到渐近线距离为 5 1 + 22 = 1. 故答案为 1. 8. 1　 依题意得右焦点 F(5,0),所以过 F 且垂直 x 轴的直线 是 x = 5,代入 x 2 20 - y 2 5 = 1,得 y = ± 5 2 ,所以此时弦长为 5 2 × 2 = 5. 当不垂直于 x 轴时,如果直线与双曲线有两个 交点,则弦长一定比 5长. 因为两顶点间距离为 4 5,即左 右两支上的点的最短距离是 4 5,所以如果交于两支的话, 弦长不可能为 5,故只有一条. 9. (1)由双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2, 过点(4, - 10), 设双曲线的方程为: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0), 由 e = 1 + ( b a )2 = 2, 可得 a = b,由其过点(4, - 10), 可得 16 a2 - 10 b2 = 1,可得 a = b = 6,故双曲线标准方程为: x2 6 - y 2 6 = 1. (2)联立直线 y = k(x - 1)与双曲线: x 2 6 - y 2 6 = 1, 可得:(1 - k2 )x2 + 2k2 x - k2 - 6 = 0, 可得:1 - k2 ≠0,且 Δ > 0, 可得:4k4 - 4(1 - k2 )( - k2 - 6) > 0, 可得:k≠ ± 1,且 - 30 5 < k < 30 5 , 故 k 的取值范围是: - 30 5 , - 1( )∪( - 1,1)∪ 1, 305( ). 10. (1)∵ 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1 的离心率为 3,点( 3,0) 是 双曲线的一个顶点, ∴ c a = 3,a = 3,解得 c = 3,又 c2 = a2 + b2 ,b = 6, ∴ 双曲线的方程为 x 2 3 - y 2 6 = 1. (2)双曲线 x 2 3 - y 2 6 = 1 的右焦点为 F2 (3,0), ∴ 直线 l 的方程为 y = 3 3 (x - 3), 联立 x2 3 - y 2 6 = 1, y = 3 3 (x - 3),{ 得 5x2 + 6x - 27 = 0,设 A( x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ),则 x1 + x2 = - 6 5 ,x1 x2 = - 27 5 ,所以 | AB | = 1 + 1 3 · ( - 6 5 )2 - 4 × ( - 27 5 ) = 16 3 5 . B 级　 素养提升 1. D　 因 为 F 是 双 曲 线 C: x2 - y 2 3 = 1 的 右 焦 点, 所 以F(2,0). 因为 PF⊥x 轴,所以可设 P 的坐标为(2,yP ). 因为 P 是 C 上一点,所以 4 - y2P 3 = 1,解得 yP = ± 3, 所以 P(2, ± 3), | PF | = 3. 又因为 A(1,3),所以点 A 到直线 PF 的距离为 1, 所以 S△APF = 1 2 × | PF | × 1 = 1 2 × 3 × 1 = 3 2 . 故选 D. 2. C　 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支相交的充要条件是直线 l 的斜率 - b a < k < b a ,两边平方得,k2 < b 2 a2 = c 2 - a2 a2 = e2 - 1,即 e2 - k2 > 1. 3. ACD　 对于选项 A,∵ m > n > 0,∴ 0 < 1 m < 1 n ,方程 mx2 + ny2 = 1 可变形为 x 2 1 m + y 2 1 n = 1,∴ 该方程表示焦点在 y 轴上 的椭圆,正确;对于选项 B,∵ m = n > 0,∴ 方程 mx2 + ny2 = 1 可变形为 x2 + y2 = 1 n ,该方程表示半径为 1 n 的圆,错 误;对于选项 C,∵ mn < 0,∴ 该方程表示双曲线,令 mx2 + ny2 = 0⇒y = ± - m