1.4.3 含有一个量词的命题的否定（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

数学 (选修 1 - 1·人教 A 版） 命题. (3)是指存在这样的平面四边形,其两条对角线互相垂直, 是特称命题. 课堂达标·固基础 1. B　 2. B　 3. C 4. ( - ∞ , - 2)　 由条件知 - m 2 > 0, m2 - 4 > 0, { ∴ m < - 2. 5. (1)∀x∈R,x2 + x + 1 > 0;真命题. (2)∀a,b∈R,ax + b = 0 恰有一解;假命题. (3)∃x0 ,y0 ∈Z,3x0 - 2y0 = 10;真命题. (4)∀x∈Q, 1 3 x2 + 1 2 x + 1 是有理数;真命题. 1. 4. 3　 含有一个量词的命题的否定 新知导学 　 　 1. ∃x0 ∈M,􀱑 p(x0 )　 2. ∀x∈M,􀱑 p(x) 3. 不是　 不都是　 ≤　 一个也没有　 至少有两个　 存在 x0 ∈A 使 p(x0 )假 预习自测 1. D　 命题 p:∃x0 ∈(0, + ∞ ),x 2 0 ≤x0 - 2,故􀱑 p:∀x∈(0, + ∞ ),x2 > x - 2. 2. A　 特称性命题的否定是全称性命题,且注意否定结论,故原 命题的否定是:“∀x∈(0, + ∞ ),ln x≠x - 1”. 故选 A. 3. C　 本题考查全称命题与特称命题的转化问题. 由命题 p:∀x∈A,2x∈B 得􀱑 p:∃x∈A,2x∉B. 4. C　 全称命题的否定为存在性命题,命题“∀x∈R,x2 + x≥1” 的否定是“∃x∈R,x2 + x < 1”,故选 C. 5. C 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:(1)存在一个矩形不是平行四边形. 假命题. (2)所有实数的绝对值都不是正数. 假命题. (3)每一个平行四边形都不是菱形. 假命题. 　 　 跟踪练习 1:(1)¬ p:∀x∈R,x2 +2x +2 >0. (2)¬ p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)¬ p:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数. (4)¬ p:存在一个四边形的四个顶点不共圆. 　 　 典例试做 2:(1)省略了全称量词“任何一个”,命题的否定 为:有些可以被 5 整除的数,末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”,命题的否定为:存在一个能被 3 整除的数,不能被 4 整除. 　 　 跟踪练习 2:(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一 个”,因此,􀱑 p:存在一个素数不是奇数,是真命题. (2)省略了全称量词“任意”,即“任意两条与同一平面所成 的角相等的直线平行”,􀱑 p:存在两条与同一平面所成的角相 等的直线不平行,是真命题. 　 　 典例试做 3:B　 ax2 + 4x + a≥ - 2x2 + 1 是真命题,即不等 式 ax2 + 4x + a≥ - 2x2 + 1 对∀x∈R 恒成立,即(a + 2)x2 + 4x + (a - 1)≥0 恒成立. 当 a + 2 = 0 时,不符合题意. 故有 a + 2 > 0 Δ≤0{ ,即 a + 2 > 0, 16 - 4(a + 2)(a - 1)≤0{ , 解得 a≥2. 　 　 跟踪练习 3:(1) - 1≤a≤1　 当 a = 0 时,x0 = 0 满足题意. 当 a≠0 时,由题意知方程 ax2 + 2x + a = 0 有实数根, ∴ a≠0 Δ = 4 - 4a2 ≥0{ ,∴ - 1≤a < 0 或 0 < a≤1. 综上可知 - 1≤a≤1. (2)设:f(x) = x2 + ax + 3 - a,则问题转化为当 x∈[ - 2,2] 时,[f(x)] min≥0. ①当 - a 2 < - 2,即 a > 4 时,f(x) 在[ - 2,2] 上单调递增, [f(x)] min = f( - 2) = 7 - 3a≥0,解得 a≤ 7 3 ,又 a > 4,所以 a 不 存在. ②当 - 2≤ - a 2 ≤2,即 - 4≤a≤4 时, [f(x)] min = f - a 2( ) = 12 - 4a - a2 4 ≥0, 解得 - 6≤a≤2. 又 - 4≤a≤4,所以 - 4≤a≤2. ③当 - a 2 > 2,即 a < - 4 时,f(x) 在[ - 2,2] 上单调递减, [f(x)] min = f(2) = 7 + a≥0,解得 a≥ - 7,又 a < - 4,所以 - 7≤ a < - 4. 综上所述,a 的取值范围是{a | - 7≤a≤2}. 　 　 典例试做 4:m≥ 1 4 　 因为 x1 ∈[ - 1,3],所以 f(x1 ) ∈[0, 9],又因为 对 ∀x1 ∈ [ - 1,3], ∃x2 ∈ [0,2], 使 得 f ( x1 ) ≥ g(x2 ),即∃x2 ∈[