2.1.2 椭圆的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ S△PF1F2 = 1 2 | PF1 | · | PF2 | = 1 2 × 40 = 20. 　 　 跟踪练习 4:A　 解法一:几何法 如图,由已知得 a = 5,b = 3,∴ c = 4. 则 | PF1 | + | PF2 | = 10 | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = | F1 F2 | 2 = 64{ , 由此可得 | PF1 | | PF2 | = 18, ∴ S△F1PF2 = 1 2 | PF1 | | PF2 | = 9. 解法二:代数法 设点 P 坐标为(x,y),由已知得 a = 5,b = 3,∴ c = 4. ∵ PF1 ⊥PF2 ,∴ 点 P 在以 F1 F2 为直径的圆上,即:x 2 + y2 = 16, 又∵ 点 P 在椭圆上,所以 x 2 25 + y 2 9 = 1,联立方程组得: x2 25 + y 2 9 = 1 x2 + y2 = 16 { ,　 解得:y = ± 94 , ∴ S△F1PF2 = 1 2 | F1 F2 | | yP | = 1 2 × 8 × 9 4 = 9. 　 　 典例试做 6:方程 x 2 m2 + y 2 (m - 1)2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭 圆,则 m2 > 0 (m - 1)2 > 0 (m - 1)2 > m2 { ,解得 m≠0 m≠1 m < 1 2 ì î í ïï ïï . 所以 m < 1 2 且 m≠0, 所以所求 m 的取值范围为( - ∞ ,0)∪ 0, 1 2( ). 课堂达标·固基础 1. C　 | F1 F2 | = 8,则平面内到 F1 ,F2 两点的距离之和等于 8 的 点的轨迹是线段 F1 F2 ,所以 A 错误;平面内到 F1 ,F2 两点的 距离之和等于 6,小于 | F1 F2 | ,这样的点不存在,所以 B 错误; 点 M (5,3) 到 F1 ,F2 两点的距离之和为 (5 + 4) 2 + 32 + (5 - 4)2 + 32 = 4 10 > | F1 F2 | = 8,则其轨迹是椭圆,所以 C 正确;平面内到 F1 ,F2 距离相等的点的轨迹是线段 F1 F2 的 垂直平分线,所以 D 错误. 故选 C. 2. A　 3. C　 因为椭圆的方程为 x 2 25 + y 2 16 = 1,所以 a2 = 25,b2 = 16,因此 c2 = a2 - b2 =9,所以 c =3,所以焦距为 2c =6. 故选 C. 4. 2 2　 由椭圆的定义得|AF2 | + |BF2 | + |AB | = |AF2 | + | BF2 | + | AF1 | + | BF1 | = 4a,所以△ABF2 的周长是 2 2. 5. 设椭圆的标准方程为: x2 M + y 2 N = 1(M > 0,N > 0), ∴ 由题意得 2 M + 4 N = 1 3 M + 1 N = 1 ì î í ïï ïï , 解得 M = 10 3 N = 10 { , ∴ 椭圆的标准方程为3x 2 10 + y 2 10 = 1. 2. 1. 2　 椭圆的简单几何性质 新知导学 　 　 x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0)　 y 2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0)　 x 轴、y 轴 　 原点　 [ - a,a] 　 [ - b,b] 　 [ - b,b] 　 [ - a,a] 　 ( ± a,0) 　 (0, ± b)　 (0, ± a)　 ( ± b,0)　 2a　 2b　 ( ± c,0)　 (0, ± c) 　 2c　 c a 预习自测 1. C　 由方程可知此椭圆关于坐标轴与原点成轴对称与中心对 称图形,所以点(2,3) 关于坐标轴或原点的对称点均在椭 圆上. 2. B　 椭圆 9x2 + 4y2 = 36 可化为标准形式为 x 2 4 + y 2 9 = 1,可知焦 点在 y 轴上,焦点坐标为(0, ± 5),故可设所求椭圆方程为 y2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0),则 c = 5. 又 2b = 2,即 b = 1,所以 a2 = b2 + c2 = 6,故所求椭圆的标准方程为 y 2 6 + x2 = 1. 3. B　 椭圆方程 9x2 + y2 = 36 化为标准方程为 y 2 36 + x 2 4 = 1,∴ a = 6,b = 2,∴ 短轴长为 2b = 4. 4. B　 因为椭圆的离心率 e = c a = 1 2 ,所以 a2 = 4c2 . 又 a2 = b2 + c2 ,所以 3a2 = 4b2 . 故选 B. 5. 3 2 　 方程 x2 + 4y2 = 1 可化为