2.2.1 双曲线及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ | x1 - x2 | = (x1 + x2 ) 2 - 4x1 x2 = 4 3k2 + 1 1 + 4k2 , ∴ S△OPQ = 1 2 × 1 × | y1 - y2 | = | k | 2 · | x1 - x2 | = 2 3k 4 + k2 1 + 4k2 , 令 1 + 4k2 = t,t > 1, ∴ S△OPQ = 2 t 3 16 (t - 1)2 + 1 4 (t - 1) = 1 2 - 1 t2 - 2 t + 3 < 3 2 , 故△OPQ 面积的最大值 3 2 . 　 　 典例试做 6:(1)当焦点在 x 轴上时,解法同上,所求椭圆的 标准方程为 x2 40 + y 2 10 = 1. (2)当焦点在 y 轴上时,设椭圆方程为 y 2 a2 + x 2 b2 = 1(a > b > 0),由题意得 c a = 3 2 9 a2 + 4 b2 = 1 c2 = a2 - b2 ì î í ï ïï ï ï ,解得 b2 = 25 4 ,a2 = 25,所以所求椭圆 的标准方程为 y2 25 + 4x 2 25 = 1. 综上可知椭圆的标准方程为 x 2 40 + y2 10 =1 或 y 2 25 +4x 2 25 =1. 课堂达标·固基础 1. D　 2. D　 3. D　 化为标准形式得 x2 + y 2 1 m = 1,所以长轴长为 2,短轴长为 2 1 m ,由题意得 2 = 2 × 2 1 m ,解得 m = 4. 4. 35　 设椭圆右焦点为 F′,由椭圆的对称性知, | P1 F | = | P7 F′ | ,| P2 F | = | P6 F′ | ,| P3 F | = | P5 F′ | , ∴ 原式 = ( | P7 F | + | P7 F′ | ) + ( | P6 F | + | P6 F′ | ) + ( | P5 F | + | P5 F′ | ) + | P4 F | = 7a = 35. 5. (1)椭圆的长轴长为 2a = 6,短轴长为 2b = 4. (2)c = a2 - b2 = 5, 所以椭圆的离心率 e = c a = 5 3 . (3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点,则 b′ = 3,可设椭圆方 程为 x2 a′2 + y 2 9 = 1,又椭圆过点 P( - 4,1), 将点 P( - 4,1)代入得16 a′2 + 1 9 = 1, 解得 a′2 = 18. 故所求椭圆方程为 x 2 18 + y 2 9 = 1. 2. 2　 双曲线 2. 2. 1　 双曲线及其标准方程 新知导学 　 　 1. (1)绝对值　 小于　 (3)定点 F1 、F2 　 (4)两焦点间 2. x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 　 y 2 a2 - x 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 　 ( - c,0)、(c,0)　 (0, - c)、(0,c)　 a2 + b2 预习自测 1. D　 由题意可知 | | MF1 | - | MF2 | | = 6,∵ | F1 F2 | = 6, ∴ | MF1 | - | MF2 | = | F1 F2 | ,因此点 M 的轨迹是两条射线. 2. A　 ∵ 双曲线的焦点在 x 轴上,∴ 设双曲线的标准方程为 x2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0). 由题知 c = 2, ∴ a2 + b2 = 4. ①　 又∵ 点(2,3)在双曲线上, ∴ 2 2 a2 - 3 2 b2 = 1. ②　 由①②解得 a2 = 1,b2 = 3, ∴ 所求双曲线的标准方程为 x2 - y 2 3 = 1. 3. C　 双曲线方程 x2 - 2y2 = 1 化为 x2 - y 2 1 2 = 1, ∴ a2 = 1,b2 = 1 2 ,∴ c2 = a2 + b2 = 3 2 ,∴ c = 6 2 , ∴ 双曲线的右焦点坐标为( 6 2 ,0). 4. y 2 25 - x 2 75 = 1　 设双曲线的方程为 mx2 + ny2 = 1( mn < 0),则 9m + 28n = 1 72m + 49n = 1{ 解得 m = - 1 75 n = 1 25 ì î í ïï ïï . 故双曲线的标准方程为 y2 25 - x 2 75 = 1. 5. ∵ 椭圆 x 2 30 + y 2 5 = 1 的焦点为( ± 5,0), ∴ 所求双曲线的焦点为( ± 5,0), 设双曲线方程为 x2 a2 - y 2 25 - a2 = 1, 把( 5,0)代入,得 5 a2 = 1,解得 a2 = 5. ∴ 双曲线的标准方程为 x 2 5 - y 2