2.3.1 抛物线及其标准方程（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ 直线 Q1 Q2 有斜率,于是 k = y1 - y2 x1 - x2 = 2. ∴ 直线 Q1 Q2 的方程为 y - 1 = 2(x - 1),即 y = 2x - 1. 由 y = 2x - 1, 2x2 - y2 = 2,{ 得 2x 2 - (2x - 1)2 = 2, 即 2x2 - 4x + 3 = 0,∴ Δ = 16 - 24 < 0. 这就是说,直线 l 与双曲线没有公共点,因此这样的直线不 存在. 　 　 跟踪练习 6:(1)设双曲线 C 的标准方程是 x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0). 由题意可知:点(2,3)在双曲线 C 上, 从而有 a2 + b2 = 4, 4 a2 - 9 b2 = 1,{ 解得 a 2 = 1, b2 = 3.{ 所以双曲线 C 的标准方程为 x2 - y 2 3 = 1. (2)由已知得直线 l 的方程为 y = - x + 1, 即 x + y - 1 = 0, 所以原点 O 到直线 l 的距离为 d = |0 + 0 - 1 | 12 + 12 = 1 2 . 联立 x2 - y 2 3 = 1, y = - x + 1, { 消去 y 可得 x2 + x - 2 = 0. 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),则 x1 + x2 = - 1,x1 x2 = - 2, 所以 | AB | = 1 + k2 · (x1 + x2 ) 2 - 4x1 x2 = 1 + 1 2 · ( - 1)2 - 4 × ( - 2) = 3 2, 所以△OAB 的面积 S = 1 2 | AB | ·d = 1 2 × 3 2 × 1 2 = 3 2 . 　 　 典例试做 7:由题意得 a b = 3 4 ,∴ a 2 b2 = 9 16 ,∴ 16a2 = 9(c2 - a2 ),∴ 25a2 = 9c2 ,∴ e2 = 25 9 ,∴ e = 5 3 . 课堂达标·固基础 1. C　 由题意,选项 A,B 表示的双曲线的焦点在 x 轴上,故排除 A,B;C 项表示的双曲线的渐近线方程为 y = ± 2x,D 项表示 的双曲线的渐近线方程为 y = ± 1 2 x. 故选 C. 2. C　 ∵ 双曲线 x 2 m - y 2 3 = 1 的离心率为 2, ∴ a2 = m > 0,b2 = 3. ∵ e = c a = 1 + b 2 a2 = 1 + 3 m = 2, ∴ m = 1. ∴ “m = 1”是“双曲线 x 2 m - y 2 3 = 1 的离心率为 2”的充要条件. 故选 C. 3. D　 设所求双曲线方程为 x 2 9 - y 2 16 = λ(λ≠0),把( - 3,2 3) 代入方程,得 9 9 - 12 16 = λ. 所以 λ = 1 4 . 故双曲线方程为 x2 9 - y 2 16 = 1 4 . 即 4x2 9 - y 2 4 = 1. 故选 D. 4. 4　 由 e = c a = a 2 + b2 a2 知 a2 + 4 a2 = 5 2( ) 2 = 5 4 , ∴ a2 = 16. ∵ a > 0,∴ a = 4. 5. 双曲线方程化为标准方程形式为 y 2 1 - x 2 1 2 = 1. 所以 a2 = 1,b2 = 1 2 ,焦点在 y 轴上. 所以 a = 1,b = 2 2 ,c2 = 3 2 ,c = 6 2 . 所以 e = c a = 6 2 . 渐近线方程为 y = ± 2x. 2. 3　 抛物线 2. 3. 1　 抛物线及其标准方程 新知导学 　 　 1. (1)相等　 (2)定点 F　 (3)定直线 l 2. y2 = 2px(p > 0)　 y2 = - 2px(p > 0) 　 x2 = 2py(p > 0) 　 x2 = - 2py(p > 0) 预习自测 1. D　 由题意得 m > 0,且 m 4 = 2,∴ m = 8,故选 D. 2. C　 抛物线 y = 1 4 x2 化为标准方程为 x2 = 4y,故准线方程为 y = - 1. 3. D　 ∵ 由题意知, p = 1 4 , p 2 = 1 8 , ∴ 焦点坐标是(0, 1 8 ). 故选 D. 4. x2 = - 12y　 双曲线的焦点坐标是(0, ± 3),根据题意,知抛物 线的焦点坐标只能是(0, - 3),即 - p 2 = - 3,p = 6,故抛物线 的方程是 x2 = - 12y. 5. (1)准线方程为 2y + 4 = 0,即 y = - 2,故抛物线焦点在 y 轴的 正半轴上,设其方程为 x2 = 2py(p > 0). 又 p 2 = 2,所以 2p =