2.3.2 抛物线的简单几何性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

现行旧教材·高中新课程学习指导 2. 3. 2　 抛物线的简单几何性质 新知导学 　 　 1. x≥0　 x≤0　 y≥0　 y≤0　 x　 y　 (0,0) 　 ( p 2 ,0) 　 ( - p 2 ,0)　 (0, p 2 )　 (0, - p 2 )　 x = - p 2 　 x = p 2 　 y = - p 2 　 y = p 2 　 1 2. (1)相切　 (2)2(x0 + p 2 )　 (3) p 2 4 　 - p2 预习自测 1. A　 由题意,设标准方程为 x2 = ± 2py(p > 0), ∵ 2p = 2,∴ x2 = ± 2y. 2. A　 ∵ 抛物线的顶点在原点,坐标轴为对称轴, ∴ 抛物线的方程为标准形式. 当抛物线的焦点在 x 轴上时, ∵ 抛物线过点( - 1,2), ∴ 设抛物线的方程为 y2 = - 2px(p > 0). ∴ 22 = - 2p( - 1). ∴ p = 2. ∴ 抛物线的方程为 y2 = - 4x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时, ∵ 抛物线过点( - 1,2), ∴ 设抛物线的方程为 x2 = 2py(p > 0). ∴ ( - 1)2 = 2p·2,∴ p = 1 4 . ∴ 抛物线的方程为 x2 = 1 2 y. 3. A　 抛物线 y2 = 8x 的焦点 F(2,0),准线 l:x = - 2,∴ 点 P到 准线 l 的距离为 5 - [( - 2) - ( - 1)] = 6,故 | PF | = 6. 4. B　 由抛物线 y2 = 8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为 y = x - 2. 代入 y2 = 8x,得(x - 2)2 = 8x,即 x2 - 12x + 4 = 0. ∴ x1 + x2 = 12,弦长 = x1 + x2 + p = 12 + 4 = 16. 5. 由题意,设抛物线方程为 y2 = ax(a≠0). 焦点 F( a 4 ,0),直线 l:x = a 4 , 所以 A、B 两点的坐标分别为( a 4 , a 2 )、( a 4 , - a 2 ), 所以 AB = | a | , 因为△AOB 的面积为 4,所以 1 2 · | a 4 | · | a | = 4, 所以 a = ± 4 2, 所以抛物线的标准方程为 y2 = ± 4 2x. 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:①当抛物线的焦点在 x 轴上时,设其标准方程 为 y2 = mx. 将点 M(1, - 2)代入,得 m = 4,∴ y2 = 4x. ②当抛物线的焦点在 y 轴上时,设其标准方程为 x2 = ny. 将点 M(1, - 2)代入,得 n = - 1 2 . ∴ x2 = - 1 2 y. 故所求的抛物线标准方程为 y2 = 4x 或 x2 = - 1 2 y. 　 　 跟踪练习 1:椭圆 x 2 16 + y 2 52 = 1 的焦点在 y 轴上,焦点坐标为 (0, - 6),(0,6). 故抛物线的准线方程为 y = - 6 或 y = 6. 当准线方程为 y = - 6 时,设抛物线方程为 x2 = 2py(p > 0), 则 p = 12,所求抛物线的方程为 x2 = 24y; 当准线方程为 y = 6 时,设抛物线方程为 x2 = - 2py(p > 0), 则 p = 12,所求抛物线的方程为 x2 = - 24y. 故所求抛物线的方程为 x2 = 24y 或 x2 = - 24y. 　 　 典例试做 2:解法一:如图,设抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 弦的两个端点为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 ),并设焦点弦所在直线方 程为 x = my + p 2 　 ①,于是有 x1 = my1 + p 2 ,x2 = my2 + p 2 ,将① 代入 y2 = 2px,得 y2 - 2pmy - p2 = 0. 所以 y1 + y2 = 2pm,y1 y2 = - p 2 . 因为(y1 - y2 ) 2 = (y1 + y2 ) 2 - 4y1 y2 = 4p 2 (m2 + 1). 所以 | AB | = (x1 - x2 ) 2 + (y1 - y2 ) 2 = m2 (y1 - y2 ) 2 + (y1 - y2 ) 2 = 2p(m2 + 1). 所以 | AB | ≥2p,故当 m = 0,即过焦点的弦垂直于 x 轴时,它 的长度最小,其最小值为 2p. 解法二:如图所示,设焦点弦 AB 的中 点为 E,分别过 A、E、B 作准线 l 的垂线,垂 足为 D、H、C,由抛物线定义知 | AD | = |AF|, |BC| = | BF |,所以 | AB | = | AF | + | BF | =