3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

数学 (选修 1 - 1·人教 A 版） 　 　 典例试做 4:(1) f ′(1) = lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(1 + Δx) - f(1) Δx = lim Δx→0 [(1 + Δx)2 + (1 + Δx) - 2] - (1 + 1 - 2) Δx = lim Δx→0 (Δx + 3) = 3, 所以直线 l1 的方程为 y = 3x - 3. 设直线 l2 与曲线 y = x 2 + x -2 相切于点 B(b,b2 + b -2), 则可求得切线 l2 的斜率为 2b + 1. 因为 l1 ⊥l2 ,则有 2b + 1 = - 1 3 ,b = - 2 3 . 所以直线 l2 的方程为 y = - 1 3 x - 22 9 . (2)解方程组 y = 3x - 3, y = - 1 3 x - 22 9 ,{ 得 x = 1 6 , y = - 5 2 . ì î í ïï ïï 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为( 1 6 , - 5 2 ). l1 ,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0),( - 22 3 ,0). 所以所求三角形的面积 S = 1 2 × 25 3 × | - 5 2 | = 125 12 . 　 　 跟踪练习 4:(1)B　 (2) 1 4 　 (1)∵ y = 1 2 x2 - 2, ∴ y′ = lim Δx→0 1 2 (x + Δx)2 - 2 - ( 1 2 x2 - 2) Δx = lim Δx→0 1 2 (Δx)2 + x·Δx Δx = lim Δx→0 (x + 1 2 Δx) = x. ∴ y′ | x = 1 = 1. ∴ 过点 P(1, - 3 2 )的切线的斜率为 1, 则切线的斜率角为 45°. (2)设切点为 P(x0 ,y0 ), 则f ′(x0 ) = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0 ) Δx = lim Δx→0 a(x0 + Δx) 2 - ax20 Δx = lim Δx→0 (2ax0 + aΔx) = 2ax0 , 即 2ax0 = 1. 又 y0 = ax 2 0 ,x0 - y0 - 1 = 0, 联立以上三式,得 2ax0 = 1, y0 = ax 2 0 , x0 - y0 - 1 = 0, { 解得 a = 1 4 . 　 　 典例试做 5:y′ = 3x2 ( 解法同上),设过(1,1) 点的切线与 y = x3 + 1 相切于点 P(x0 ,x 3 0 + 1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k = 3x20 　 ①,过(1,1)点的切线的斜率 k = x30 + 1 - 1 x0 - 1 　 ②,∴ 3x20 = x30 x0 - 1 ,解得 x0 = 0 或 x0 = 3 2 ,所以 k = 0 或 k = 27 4 ,因此 y = x3 + 1 过点 M(1,1)的切线方程有两个,分别 为 y - 1 = 27 4 (x - 1)和 y = 1,即 27x - 4y - 23 = 0 或 y = 1. 课堂达标·固基础 1. C　 k = lim Δx→0 f(2 + Δx) - f(2) Δx = lim Δx→0 2 + Δx 1 - (2 + Δx) - ( - 2) Δx = lim Δx→0 1 1 + Δx = 1. 2. D　 3. 2x + y - 5 = 0　 由题意知,切线的斜率为 k = - 2, ∴ 曲线在点 A(2,1)处的切线方程为 y - 1 = - 2(x - 2), 即 2x + y - 5 = 0. 4. 3 5. ∵ f′(1) = lim Δx→0 1 2 (1 + Δx)2 - 1 2 Δx = lim Δx→0 Δx + 1 2 (Δx)2 Δx = lim Δx→0 1 + 1 2 Δx( ) = 1, ∴ 曲线在点 1, 12( )处的切线的斜率为 1, 则切线方程为 y - 1 2 = 1 × (x - 1),即 y = x - 1 2 . 3. 2　 导数的计算 3. 2. 1　 几个常用函数的导数 及基本初等函数的导数公式 新知导学 　 　 1. 0　 1　 2x　 - 1 x2 2. 0　 axln a　 αxα - 1 　 ex　 cos x　 1 x ln a 　 - sin x　 1 x 预习自测 1. D　 当 y = x 1 2 时,y′ = (x 1 2 )′ = ( x)′ = 1 2 x = 1 2 x - 1 2 . D 不正确. 故应选 D. 2. A　 ∵ f′(x) = 1 2 x ,∴ f′(3) = 1 2 3 = 3 6 . 3. D　 ∵ f ′(x