2.2.1 双曲线及其标准方程（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

▲ 181 ▲ ▲ 182 ▲ 设 | AF1 | = m,则 | AF2 | = 6 - m, ∴ (6 - m)2 = m2 + (2 2)2 - 2m·2 2 cos 45°, 解得 m = 7 2 . ∴ 6 - m = 5 2 . ∴ S△AF1F2 = 1 2 × 7 2 × 2 2sin 45° = 7 2 ,故选 C. 2. C　 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是 60°,所以该点 P 不可能是直角顶点,则只能是焦点为直角 顶点,此时△PF1 F2 的面积为 1 2 × 2c × b 2 a = 3 2 . 3. AB　 方程 x2 + ky2 = 2 可化为 x 2 2 + y 2 2 k = 1,若焦点在 y 轴 上,则必有 2 k > 2,且 k > 0,即 0 < k < 1,故选 AB. 4. BC　 依题意,得 k - 3 > 0, 5 - k > 0, k - 3≠5 - k. { 解得 3 < k < 5 且 k≠4. 所以 k 的取值范围是(3,4)∪(4,5). 且当 k∈(3,4)时,k - 3 < 5 - k,焦点在 y 轴上; 当 k∈(4,5)时,k - 3 > 5 - k,焦点在 x 轴上,故选 BC. 5. 6　 由题意知,c = 1,∴ m - 5 = 1,∴ m = 6. 6. 2π 3 　 因为由椭圆的定义,我们可知 | PF1 | + | PF2 | = 2a, ∴ | PF2 | = 2a - | PF1 | = 6 - 4 = 2. 在△PF1 F2 中, ∵ cos∠F1 PF2 = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 - | F1 F2 | 2 2 | PF1 | × | PF2 | = 16 + 4 - 28 2 × 4 × 2 = - 1 2 ,∴ ∠F1 PF2 = 2π 3 . 7. (1)设所求椭圆的方程为 x 2 m + y 2 n =1(m >0,n >0,且 m≠n), ∵ 椭圆过 A(0,2)、B 12 , 3( ). ∴ 0 m + 4 n = 1 1 4m + 3 n = 1{ ,　 解得 m = 1n = 4{ . 即所求椭圆方程为 x2 + y 2 4 = 1. (2)∵ 椭圆 9x2 + 4y2 = 36 的焦点为(0, ± 5),则可设所求 椭圆方程为 x2 m + y 2 m + 5 = 1(m > 0), 又椭圆经过点(2, - 3),则有 4 m + 9 m + 5 = 1, 解得 m = 10 或 m = - 2(舍去), 即所求椭圆的方程为 x2 10 + y 2 15 = 1. 8. 由椭圆的定义,2a = | PF1 | + | PF2 | = (2 + 2) + (2 - 2) = 4,故 a = 2. 设椭圆的半焦距为 c,由于 PF1 ⊥PF2 , 因此 2c = | F1 F2 | = | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = (2 + 2)2 + (2 - 2)2 = 2 3, 即 c = 3,从而 b = a2 - c2 = 1, 故所求椭圆的标准方程为 x2 4 + y2 = 1. 练案[10] A 级　 基础巩固 1. D　 由题意知,c = 2,a2 = m - 2,b2 = 10 - m, ∴ m - 2 - 10 + m = 4,∴ m = 8. 2. A　 由题意,得 a = 2c,∴ e = c a = 1 2 . 3. B　 椭圆 9x2 + 4y2 = 36 的焦点为(0, 5),(0, - 5), ∵ b = 2 5,∴ a2 = 25,故选 B. 4. C　 由题意得焦点在 x 轴,∵ a2 = 4 + 22 = 8, ∴ a = 2 2,∴ e = c a = 2 2 2 = 2 2 . 故选 C. 5. C　 当焦点在 x 轴上时,a2 = 9,b2 = 4 + k, ∴ c2 = 5 - k,∴ 5 - k 9 = 16 25 ,∴ k = - 19 25 . 当焦点在 y 轴上时,a2 = 4 + k,b2 = 9, ∴ c2 = k - 5,∴ k - 5 4 + k = 16 25 ,∴ k = 21. 故选 C. 6. A　 由题意知以 A1 A2 为直径的圆的圆心为(0,0),半径 为 a. 又直线 bx - ay + 2ab = 0 与圆相切, ∴ 圆心到直线的距离 d = 2ab a2 + b2 = a, 解得 a = 3b,∴ b a = 1 3 , ∴ e = c a = a 2 - b2 a = 1 - ( b a )2 = 1 - ( 1 3 )2 = 6 3 . 7. x 2 81 + y 2 72 = 1 或 x 2 72