3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式（练案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

▲ 187 ▲ ▲ 188 ▲ Δs Δt = s(0 + Δt) - s(0) Δt = 3Δt - Δt 2 Δt = 3 - Δt2 . 当 Δt 趋近于 0 时, Δs Δt 趋近于 3,故它的初速度为 3. 3. C　 ∵ f′( - 1) = lim Δx→0 f( - 1 + Δx) - f( - 1) Δx = lim Δx→0 a(Δx - 1)3 + a Δx = 3a,∴ 3a = 3,解得 a = 1. 故选 C. 4. ABC　 根据题意,直线运动的物体,从时刻 t 到 t + Δt 时,时 间的变化量为 Δt,而物体的位移为 Δs, 那么 lim Δt→0 Δs Δt 为该物体在 t 时刻的瞬时速度; 故选 ABC. 5. ABD　 根据题意, lim Δt→0 s(1 + Δt) - s(1) Δt = 9. 8 m / s,则物体在 t = 1 s 这一时刻的瞬时速度为 9. 8 m / s,故选 ABD. 6. 0 m / s　 ΔS = - 4(2 + Δt)2 + 16(2 + Δt) + 4 × 22 - 16 × 2 = - 4Δt2 , ∴ ΔS Δt = - 4Δt 2 Δt = - 4Δt,∴ v = lim Δt→0 ΔS Δt = lim Δt→0 ( - 4Δt) = 0. ∴ 物体在 t = 2s 时的瞬时速度为 0 m / s. 7. 20　 由题物体在 t = 2 到 t = 2 + Δt 这一段时间内的平均速 度为v = 5(2 + Δt) 2 - 5 × 22 Δt = 20 + 5Δt,则当 Δt→0 时v→ 20,即 t = 2 时的瞬时速度为 20. 8. f′(1) lim Δx→0 f(0 + Δx) - f(0) Δx = lim Δx→0 Δx2 - 3 + 3 Δx = lim Δx→0 Δx = 0, f′(6) = lim Δx→0 f(6 + Δx) - f(6) Δx = lim Δx→0 6 + Δx - 6 Δx = lim Δx→0 Δx Δx·( 6 + Δx + 6) = lim Δx→0 1 6 + Δx + 6 = 6 12 . 练案[17] A 级　 基础巩固 1. C　 由导数的几何意义可知函数 y = f( x) 在 x = x0 的导数 f ′(x0 ),即为曲线在点(x0 ,f(x0 ))处的切线的斜率. 2. B　 ∵ y = x3 , ∴ y′ = lim Δx→0 (x + Δx)3 - x3 Δx = lim Δx→0 Δx3 +3x·Δx2 +3x2·Δx Δx = lim Δx→0 (Δx2 + 3x·Δx + 3x2 ) = 3x2 . 令 3x2 = 3,得 x = ± 1, ∴ 点 P 的坐标为(1,1),( - 1, - 1). 3. B　 由已知得 f(5) = - 5 + 8 = 3,f′(5) = - 1, 故选 B. 4. A　 ∵ f ′(x) = lim Δx→0 (Δx + x)3 - 2(Δx + x) + 1 - x3 + 2x - 1 Δx = lim Δx→0 Δx3 + 3x·Δx2 + 3x2 ·Δx - 2Δx Δx = lim Δx→0 (Δx2 + 3x·Δx + 3x2 - 2) = 3x2 - 2, ∴ f ′(1) = 3 - 2 = 1,∴ 切线的方程为 y = x - 1. 5. D　 Δy = f(x + Δx) - f(x) = 1 2 (x + Δx)2 + 2(x + Δx) - 1 2 x2 - 2x = x·Δx + 1 2 (Δx)2 + 2Δx, ∴ Δy Δx = x + 1 2 Δx + 2,∴ f ′(x) = lim Δx→0 Δy Δx = x + 2. 设切点坐标为(x0 ,y0 ),则 f ′(x0 ) = x0 + 2. 由已知 x0 + 2 = 4,∴ x0 = 2,故选 D. 6. B　 从图象上可以看出 f(x) 在 x = 2 处的切线的斜率比在 x = 3处的斜率大,且均为正数,所以有 0 < f′(3) < f′(2),过 这两点的直线的斜率 f(3) - f(2) 3 - 2 比 f(x) 在 x = 2 处的切线 的斜率小,比 f( x) 在 x = 3 处的切线的斜率大,所以 0 < f′(3) < f(3) - f(2) < f′(2),故选 B. 7. 12　 f ′(2) = lim Δx→0 (2 + Δx)3 + 2 - 23 - 2 Δx = lim Δx→0 (2 + Δx - 2)[(2 + Δx)2 + (2 + Δx)·2 + 22 ] Δx = lim Δx→0 [4 + 4Δx