1.1.2 余弦定理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∵ b > a,∴ B = 60°或 B = 120°. 当 B = 60°时,C = 90°,此时 c = 2 5. 当 B = 120°时,C = 30°,此时 c = a = 5. 故选 C. 2. C　 在△ABC 中,由正弦定理,得 a sinA = b sinB , 即 2 sinA = 3 sin60° , ∴ sinA = 2 × 3 2 3 = 2 2 . ∵ a < b,∴ A < B,∴ A = 45°. 3. A　 ∵ acosB = bcosA,∴ 由正弦定理,得 sinAcosB = sinBcosA, ∴ sin(A - B) = 0, 由于 - π < A - B < π,故必有 A - B = 0,∴ A = B. 即 △ABC 为等腰 三角形. 4. π 3 　 由 2bcosB = acosC + ccosA 及正弦定理, 得 2sinBcosB = sinAcosC + sinCcosA. ∴ 2sinBcosB = sin(A + C). 又 A + B + C = π, ∴ A + C = π - B. ∴ 2sinBcosB = sin(π - B) = sinB. 又 sinB≠0, ∴ cosB = 1 2 . 又∵ 0 < B < π, ∴ B = π 3 . 5. 解法一:∵ acos( π 2 - A) = bcos( π 2 - B), ∴ asinA = bsinB. 由正弦定理,得 a × a 2R = b × b 2R , ∴ a2 = b2 ,∴ a = b, 故△ABC 是等腰三角形. 解法二:∵ acos( π 2 - A) = bcos( π 2 - B), ∴ asinA = bsinB. 由正弦定理,得 2Rsin2 A = 2Rsin2 B,即 sinA = sinB, ∴ A = B(A + B = π 不合题意,舍去), 故△ABC 是等腰三角形. 第 2 课时　 余弦定理 新知导学 　 　 1. 减去　 两　 a2 + b2 - 2abcosC　 a 2 + b2 - c2 2ab 2. (1)三条边　 (2)两边及其夹角　 3. 钝角　 钝角　 直角　 直角　 锐角　 锐角　 预习自测 1. (1)√　 因为 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc < 0,所以 A 为钝角,即△ABC 为钝角 三角形. (2) × 　 因为 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc > 0,所以 A 为锐角,但三角形的形状 无法确定. (3) × 　 因为在△ABC 中,a = 2,b = 5,c = 6,则 cosB = 5 8 . 2. 60°　 由题意可知,(a + b + c)(a + b - c) = 3ab,于是有 a2 + 2ab + b2 - c2 = 3ab,即 c2 = a2 - ab + b2 ,所以 cosC = 1 2 ,所以 C = 60°. 3. 3 2 　 由余弦定理得 AC2 = BC2 + AB2 - 2BC·ABcosB,又因为 B = 45°,AC = 10,AB = 2,所以( 10)2 = BC2 + 22 - 2 × BC × 2 × cos45°, 整理,得 BC2 - 2 2BC - 6 = 0, 所以(BC - 3 2)(BC + 2) = 0, 解得 BC = 3 2或 BC = - 2(舍去), 所以 BC 边的长为 3 2. 4. π 3 　 由 sinC = 2sinB 及正弦定理可知:c = 2b, 代入 a2 - b2 = bc, 可得 a2 = 3b2 , 所以 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc = 1 2 , 因为 0 < A < π,所以 A = π 3 . 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:由余弦定理,得 b2 = a2 + c2 - 2accosB, 则 2 = 3 + c2 - 2 3 × 2 2 × c,即 c2 - 6c + 1 = 0,解得 c = 6 + 2 2 ,或 c = 6 - 2 2 . 当 c = 6 + 2 2 时, 由 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc = 2 + ( 6 + 2 2 )2 - 3 2 × 2 × 6 + 2 2 = 1 2 . ∵ 0° < A < 180°,∴ A = 60°,∴ C = 180° - ( A + B) = 180° - (60° + 45°) = 75°. 当 c = 6 - 2 2 时, 由 余 弦 定 理 得 cosA = b 2 + c2 - a2 2bc = 2 + ( 6 - 2 2 )2 - 3 2 × 2