2.1.1 数列的概念与简单表示法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 = 12 2sin(2α + π 3 ) + 3 , 因为 α∈[0, π 3 ], 所以 π 3 ≤2α + π 3 ≤π, 所以 0≤sin(2α + π 3 )≤1, 所以当 sin(2α + π 3 ) = 0 时,S△ECF 取最大值为 4 3. 第二章　 数列 2. 1　 数列的概念与简单表示法 第 1 课时　 数列的概念与简单表示法 新知导学 　 　 1. 数列　 项　 首项　 (1)一定顺序　 一列数 2. 通项公式 3. (1)有穷数列　 无穷数列 (2)递增数列　 递减数列　 摆动数列 预习自测 1. (1) × 　 两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性. (2)√　 可以重复. 如常数列 2,2,2,2,2,…. (3) × 　 有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一. (4) × 　 第六项为 - 10,不符合 an = 5 - 2n,故 an = 5 - 2n,不是此数列 的通项公式. 2. an = ( - 1 ) n - 1 · n - 1 n + 1 　 由 题 意 可 知, 偶 数 项 为 负, 各 项 为 1 - 1 1 + 1 , - 2 - 1 2 + 1 ,3 - 1 3 + 1 ,…, 故 an = ( - 1) n - 1 ·n - 1 n + 1 . 3. 512　 由题可知,an = 2 n - 1 ,则 3 小时后,n = 10. ∴ a10 = 2 9 = 512 个. 4. 55 12 　 a3 = a2 + 1 a1 = 4, a4 = a3 + 1 a2 = 13 3 . a5 = a4 + 1 a3 = 55 12 . 5. 18　 由 2n + 1 = 37⇒n = 18. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1: C 　 D 是有穷数列, A 是递减数 列, B 是 摆 动 数 列, 故选 C. 　 　 跟踪练习 1:(1)　 (2) (3) (4) (5) 　 (1) (2) 　 (3) 　 (5) 　 (1) 是 有穷递增数列,(2)是无穷递增数列,(3)是无穷递减数列,(4) 是无穷数 列,也是摆动数列;(5)是无穷数列,也是常数列. 　 　 典例试做 2:(1)这个数列各项的整数部分分别为 1,2,3,4,…,恰好 是序号 n;分数部分分别为 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…,与序号 n 的关系是 n n + 1 , 所以这个数列的一个通项公式是 an = n + n n + 1 = n 2 + 2n n + 1 . (2)这个数列可以改写为 10 + 1,100 + 2,1 000 + 3,10 000 + 4,…, 所以这个数列的一个通项公式是 an = 10 n + n. (3)这个数列可以改写为 10 - 1,100 - 1,1 000 - 1,10 000 - 1,…, 所以这个数列的一个通项公式是 an = 10 n - 1. (4)将每一项都统一写成分母为 2 的分数,即 1 2 , 4 2 , 9 2 , 16 2 , 25 2 , …,所以它的一个通项公式是 an = n2 2 . 　 　 跟踪练习 2:(1)an = ( - 1) n · 1 2n 　 数列各项负正相间,选用符号 选择器( - 1) n ,分子均为 1,分母是序号的 2 倍,所以 an = ( - 1) n · 1 2n . (2)①从 3 开始的奇数列,an = 2n + 1. ②分子为偶数,分母为相邻两奇数的积 an = 2n (2n - 1)(2n + 1) . ③an = 1 + ( - 1) n 2 或 an = | sin n - 1 2 π | . ④将数列变形为 1 + 0,2 + 1,3 + 0,4 + 1,5 + 0,6 + 1,7 + 0,8 + 1,……, 所以 an = n + 1 + ( - 1) n 2 . ⑤将数列变形为 1 × 2, - 2 × 3,3 × 4, - 4 × 5,5 × 6,……, 所以 an = ( - 1) n + 1 n(n + 1). 　 　 典例试做 3:(1)∵ an = 3n 2 - 28n, ∴ a4 = 3 × 4 2 - 28 × 4 = - 64, a6 = 3 × 6 2 - 28 × 6 = - 60. (2)令 3n2 - 28n = - 49,即 3n2 - 28n + 49 = 0, ∴ n = 7 或 n = 7 3 (舍). ∴ - 49 是该数列的第 7 项,即 a7 = - 49. 令 3n2 - 28n = 68,即 3n2 - 28n - 68 = 0, ∴ n = - 2 或 n = 34 3 .