2.2.2 等差数列的性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 　 　 跟踪练习 3:(1)C　 C 项不满足等差数列的定义. (2)当 n≥2 时,由 an + 1 an = n n - 1 , 得(n - 1)an + 1 = nan , 所以 nan + 2 = (n + 1)an + 1 ,两式相减得: nan + 2 - (n - 1)an + 1 = (n + 1)an + 1 - nan , 整理得,nan + 2 + nan = 2nan + 1 , 所以 an + 2 + an = 2an + 1 , 所以 an + 2 - an + 1 = an + 1 - an , 又因为 a3 - a2 = 2a2 - a2 = a2 = a2 - 0 = a2 - a1 ,所以数列{an } 是等 差数列. 　 　 典例试做 4:因为 an = 10 + lg2 n = 10 + nlg2,所以 an + 1 = 10 + ( n + 1)lg2. 所以 an + 1 - an = [10 + (n + 1)lg2] - (10 + nlg2) = lg2(n∈N∗ ). 所以数列{an }为等差数列. 　 　 典例试做 5:将 an + 1 = 3an 3 - an 变形为 1 an + 1 - 1 an = - 1 3 , 令 bn = 1 an ,则 bn + 1 - bn = - 1 3 , ∴ 数列{bn }构成等差数列,首项 b1 = 1 a1 = 2,公差 d = - 1 3 , ∴ bn = b1 + (n - 1)d = 2 - 1 3 (n - 1) = 7 - n 3 ,∴ an = 3 7 - n . 课堂达标验收 1. A　 ∵ an = 2n + 5,∴ an - 1 = 2n + 3(n≥2), ∴ an - an - 1 = 2n + 5 - 2n - 3 = 2(n≥2), ∴ 数列{an }是公差为 2 的等差数列. 2. B　 设这个等差数列为{an }, 其中 a1 = - 3,d = 4,∴ a15 = a1 + 14d = - 3 + 4 × 14 = 53. 3. C　 a1 = 1,d = - 1 - 1 = - 2,∴ an = 1 + (n - 1)·( - 2) = - 2n + 3, 由 - 89 = - 2n + 3,得 n = 46. 4. 1 或 2　 ∵ a,b,c 成等差数列,∴ 2b = a + c, 又 Δ = 4b2 - 4ac = (a + c)2 - 4ac = (a - c)2 ≥0. ∴ y = ax2 + 2bx + c 的图象与 x 轴有 1 个或 2 个交点. 5. 设等差数列{an }的公差为 d, ∵ a5 = 10,a12 = 31,则 a1 + 4d = 10 a1 + 11d = 31 { ,解得 a1 = - 2d = 3{ . 因此这个等差数列的首项是 - 2,公差是 3. ∴ an = - 2 + 3(n - 1) = 3n - 5. 第 2 课时　 等差数列的性质 新知导学 　 　 1. (1)n - m　 (2)ap + aq 　 2ap 　 2. an - 1 　 an - k + 1 　 3. (1)①d ②cd　 ③2d　 (2)pd1 + qd2 　 4. (1)递增　 (2)递减　 (3)常　 预习自测 1. (1) × 　 如 - 2, - 1,0,1,2 是等差数列,但其绝对值就不是等差数列. (2) × 　 当公差 d = 0 时,an 为常数,不是关于 n 的一次函数. (3) × 　 若数列{an }是常数列,则 m + n = p + q 不一定成立. (4)√　 因为 an = 3n + 5 的公差 d = 3,而直线 y = 3x + 5 的斜率也是 3,所以相等成立. 2. 0　 a1 + a101 + a2 + a100 + … + a50 + a52 + a51 = 101 2 (a1 + a101 ) = 0, ∴ a1 + a101 = 0. 3. 4　 a3 + a5 = 2a4 ,a7 + a10 + a13 = 3a10 , ∴ 3(a3 + a5 ) + 2(a7 + a10 + a13 ) = 6a4 + 6a10 = 6(a4 + a10 ) = 24, ∴ a4 + a10 = 4. 4. 13　 设公差为 d,因为 a5 = a2 + 6,a5 - a2 = 3d = 6,所以 a6 = a3 + 3d = 7 + 6 = 13. 5. 90　 因为数列{an },{bn }都是等差数列,所以{an + bn }也构成了等差数 列,所以(a2 + b2) - (a1 + b1) = (