2.3.1 等差数列的前n项和及其性质（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 由 an ≥0,得 2n - 48≥0,∴ n≥24. 显然当 n≥25 时,an > 0. 即从第 25 项开始,各项为正数. 　 　 典 例 试 做 5: 设 四 个 数 分 别 为 a - 3d, a - d, a + d, a + 3d, 则: (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 26　 ①(a - d)(a + d) = 40 ②{ 由①,得 a = 13 2 . 代入②,得 d = ± 3 2 . ∴ 四个数为 2,5,8,11 或 11, 8,5,2. 课堂达标验收 1. D　 解法一:∵ a6 + a9 = 16 a4 = 1 { ,∴ 2a1 + 13d = 16a1 + 3d = 1{ , ∴ a1 = - 5 d = 2{ ,∴ a11 = a1 + 10d = 15. 解法二:∵ a4 + a11 = a6 + a9 = 16,∴ a11 = 15. 2. A　 设 b1 = a1 + a4 + a7 = 58,b2 = a2 + a5 + a8 = 44,b3 = a3 + a6 + a9 . 因 为{an }是等差数列,所以 b1 ,b2 ,b3 也是等差数列,得 b1 + b3 = 2b2 ,所 以 b3 = 2b2 - b1 = 2 × 44 - 58 = 30,即 a3 + a6 + a9 = 30. 3. 3n - 1　 设公差为 d, ∵ a2 + a4 = a1 + a5 = 16, ∴ 由 a1 + a5 = 16 a1 ·a5 = 28 { ,解得 a1 = 2a5 = 14{ 或 a1 = 14 a5 = 2 { . ∵ 等差数列{an }是递增数列, ∴ a1 = 2,a5 = 14. ∴ d = a5 - a1 5 - 1 = 12 4 = 3, ∴ an = a1 + (n - 1)d = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1. 4. 设 等 差 数 列 的 前 三 项 分 别 为 a - d, a, a + d, 由 题 意, 得 a - d + a + a + d = 21 a(a - d)(a + d) = 231{ , 即 3a = 21 a(a2 - d2 ) = 231{ ,解得 a = 7, d = ± 4{ . ∵ 等差数列{an }是递增数列,∴ d = 4. ∴ 等差数列的首项为 3,公差为 4. ∴ an = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1. 2. 3　 等差数列的前 n 项和 第 1 课时　 等差数列的前 n 项和及其性质 新知导学 　 　 1. n(a1 + an ) 2 　 na1 + 1 2 n(n - 1)d 2. (1)k2 d　 (2)等差数列 3. 二次　 二次 4. 大　 小 预习自测 1. (1) × 　 n > 1 且 n∈N∗ . (2)√　 等差数列具有 a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = …特征,可用 倒序相加法. (3) × 　 将等差数列前 n 项和公式 Sn = na1 + n(n - 1)d 2 整理成关于 n 的函数可得 Sn = d 2 n2 + (a1 - d 2 )n,当 d≠0 时才可以看成是关于 n 的常数项为零的二次函数. (4 ) × 　 由 a1 = - 1, a10 = 11 可 得, S10 = 10 × (a1 + a10 ) 2 = 10 × ( - 1 + 11) 2 = 50. 2. 54　 S9 = (a1 + a9 ) × 9 2 = (a2 + a8 ) × 9 2 = 54. 3. 180　 因为 a1 + a18 = a2 + a17 = 20, 所以 S18 = 18 × (a1 + a18 ) 2 = 18 × (a2 + a17 ) 2 = 180. 4. 22　 因为数列{an }是等差数列,且 a3 + a9 = 4, 所以数列{an } 的前 11 项和 S11 = (a1 + a11 ) × 11 2 = (a3 + a9 ) × 11 2 = 4 × 11 2 = 22. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:(1)A　 由题可知 781 = (4 + 67)(k + 2) 2 ∴ k + 2 = 22,∴ k = 20,故选 A. (2)C　 S2 = a1 + a2 = 2a1 + d = 4　 ① S4 = 4a1 + 6d = 20　 ② 由①②解得 a1 = 1 2 ,d = 3. 故选 C. (3)15　 由 6a1 + 6 ×5 2 d =2,9a1 + 9 ×8 2 d = 5 得 a1 = - 1 27 ,d