3.1.2 不等式性质的应用（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版必修5）

数学 （必修 5·人教 A 版）　 ②当 0 < a < b 时,0 < a b < 1,a - b < 0,∴ ( a b ) a - b > 1. 综上可得( a b ) a - b > 1,∴ aabb > abba. 　 　 跟踪练习 3: a abb (ab) a + b 2 = aa - a + b 2 bb - a + b 2 = a a - b 2 b b - a 2 = ( a b ) a - b 2 . ①若 a = b > 0,则 a b = 1,a - b = 0,∴ aabb = (ab) a + b 2 . ②若 a > b > 0,则 a b > 1,a - b > 0. 由指数函数的性质,知( a b ) a - b 2 > 1,∴ aabb > (ab) a + b 2 . ③若 0 < a < b,则 0 < a b < 1,a - b < 0. 由指数函数的性质,知( a b ) a - b 2 > 1,∴ aabb > (ab) a + b 2 . 综上所述,aabb ≥(ab) a + b 2 . 　 　 典例试做 4:∵ 15 < b < 36,∴ - 36 < - b < - 15. ∴ 12 - 36 < a - b < 60 - 15, 即 - 24 < a - b < 45. 又 15 < b < 36,∴ 1 36 < 1 b < 1 15 . 又 12 < a < 60,∴ 12 36 < a b < 60 15 ,即 1 3 < a b < 4. 综上, - 24 < a - b < 45, 1 3 < a b < 4. 　 　 典例试做 5:∵ f( - 1) = a - b,∴ 1≤a - b≤2,f(1) = a + b, ∴ 2≤a + b≤4. f( - 2) = 4a - 2b,令 4a - 2b = m(a - b) + n(a + b), ∴ m + n = 4- m + n = - 2{ ,解得 m = 3 n = 1{ . ∴ f( - 2) = 3(a - b) + (a + b). 又∵ 1≤a - b≤2,∴ 3≤3(a - b)≤6, 又∵ 2≤a + b≤4,5≤3(a - b) + (a + b)≤10,∴ 5≤f( - 2)≤10. 课堂达标验收 1. A　 ∵ M - N = x2 + x + 1 = (x + 1 2 )2 + 3 4 > 0, ∴ M > N. 2. B　 依据题意直接将不等关系转化为不等式, 即 v≤120 km / h,d≥10 m,注意两个不等关系必须同时成立. 3. (1) < 　 (2)≥　 (1)(2a + 1)(a - 3) - [(a - 6)(2a + 7) + 45] = - 6 < 0, 所以(2a + 1)(a - 3) < (a - 6)(2a + 7) + 45. (2)a2 + b2 - 2(a - b - 1) = (a - 1)2 + (b + 1)2 ≥0, 所以 a2 + b2 ≥2(a - b - 1). 4. mm > 2m 　 由于 mm > 0,2m > 0,故可采用作商法, ∴ m m 2m = ( m 2 ) m. ∵ m > 2,∴ m 2 > 1,∴ ( m 2 ) m > 1. 即 mm > 2m. 5. (1)x3 - (x2 - x + 1) = x3 - x2 + x - 1 = x2 (x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(x2 + 1), 因为 x > 1,所以(x - 1)(x2 + 1) > 0, 所以 x3 > x2 - x + 1. (2)因为 1 a < 1 b ,所以 1 a - 1 b = b - a ab < 0,① 因为 a < b,所以 b - a > 0,② 综合①②知 ab < 0,又因为 a < b,所以 a < 0 < b. 第 2 课时　 不等式性质的应用 新知导学 　 　 (1) < 　 > 　 < 　 (2) > 　 > 　 (3) > 　 (4) ① > 　 ② < 　 (5) > 　 (6) > 　 (7) > 　 (8) > 预习自测 1. (1) × 　 由不等式的性质,ac2 > bc2 ⇒a > b; 反之,c = 0 时,a > b /⇒ac2 > bc2 . (2) × 　 相乘需要看是否 a > b > 0,c > d > 0.{ 而相加与正、负和零均无关系. (3)√　 符合不等式的可乘方性. (4) × 　 由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等 号方向不变,因此由 a > b,则 ac > bc 不一定成立,故此说法是错误的. (5) × 　 取 a = 4