2.1 比较法-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 当 x = ± 1 时,x6 + 1 = x4 + x3 , 当 x≠ ± 1 时,x6 + 1 > x4 + x3 . 18. (1)依题意有:|2a - 3 | < | a | - (a - 3), 若 a≥ 3 2 ,则 2a - 3 < 3,∴ 3 2 ≤a < 3. 若 0≤a < 3 2 ,则 3 - 2a < 3,∴ 0 < a < 3 2 , 若 a < 0,则 3 - 2a < - a - (a - 3),无解. 综上所述,a 的取值范围为(0,3). (2)由题意可知,当 x∈[ - 1,1]时 f(x) < g(x)恒成立, ∴ | x + a | < 3 恒成立,即 - 3 - x < a < 3 - x,当 x∈[ - 1,1]时 恒成立, ∴ - 2 < a < 2. 19. 解:设销售价格定为每件 x 元(50 < x≤80),每天获得利润 y 元,则 y = (x - 50)·P = 10 5 (x - 50) (x - 40)2 , 设 x - 50 = t,则 0 < t≤30, ∴ y = 10 5 t (t + 10)2 = 10 5 t t2 + 20t + 100 = 10 5 t + 100 t + 20 ≤ 10 5 20 + 20 = 2 500. 当且仅当 t = 10,即 x = 60 时,ymax = 2 500. 答:每件售价 60 元时,每天获利最多,最多是 2 500 元. 20. (1)因为( a + b)2 = a + b + 2 ab, ( c + d)2 = c + d + 2 cd, 由题设 a + b = c + d,ab > cd 得( a + b)2 > ( c + d)2 , 因此 a + b > c + d. (2)①若 | a - b | < | c - d | ,则(a - b)2 < (c - d)2 , 即(a + b)2 - 4ab < (c + d)2 - 4cd. 因为 a + b = c + d,所以 ab > cd. 由(1)得 a + b > c + d. ②若 a + b > c + d,则( a + b)2 > ( c + d)2 , 即 a + b + 2 ab > c + d + 2 cd. 因为a + b = c + d,所以 ab > cd, 于是(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab < (c + d)2 - 4cd = (c - d)2 . 因 此 | a - b | < | c - d | . 综上, a + b > c + d是 | a - b | < | c - d | 的充要条件. 21. (1)f(x)≤0 等价|2x -2|≤3 - x,即有 x -3≤2x -2≤3 - x, 于是有 x - 3≤2x - 2 2x - 2≤3 - x{ 解得 x≥ - 1 x≤ 5 3 { ,∴ f(x)≤0 的解集为{x | - 1≤x≤ 5 3 }. (2)由 f(x) = 0 得 |2x - 2 | = - mx + 3,分别令 y1 = | 2x - 2 | , y2 = - mx + 3,在同一坐标系下做出以上两函数图象如下图 所示,要使函数 y = f(x)恰有两个不同零点, 则 - 2 < - m < 2,m∈( - 2,2). 22. 解:(1)f(x) + 2g(x) = |2x + a | + 2 | x - 1 | = |2x + a | + |2x - 2 | ≥ |2x + a | - (2x - 2) | = | a + 2 | = 1 ∴ a = - 1 或 - 3. (2)当 x∈[ 1 2 ,1]时,|2x + a | + | x - 1 | < 1,即 |2x + a | + 1 - x < 1, ∴ |2x + a | < x, - a 3 < x < - a, f(x) + g(x) < 1 的解集包含[ 1 2 ,1],即 - a 3 < 1 2 且 - a > 1, ∴ - 3 2 < a < - 1. 第二讲　 证明不等式的基本方法 一　 比较法 新知导学 　 　 1. (1)a - b > 0　 a - b = 0　 a - b < 0　 (2)①作差　 ②变形 　 ③定号　 ④下结论 2. (1) a b > 1(b > 0)　 a = b　 a < b 思考运用:1. 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小 判断问题转化为判断一个数或式子与 0 的大小关系. 作商比较 法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个 数或式子与 1 的大小关系. 2. 主要适用于积、商、幂、对数、根式等形式的不等式