2.3 反证法与放缩法-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 12. (1)∵ a,b 是正实数,∴ a + b≥2 ab, ∴ ab≤1, ∴ ( a + b)2 = a + b + 2 ab≤4, ∴ a + b≤2, 当且仅当 a = b = 1 时,取“ = ”. (2)∵ a2 + b2 ≥2ab. ∴ 2(a2 + b2 )≥a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 4. ∴ a2 + b2 ≥2. ∴ (a + b3 )(a3 + b) = a4 + b4 + a3 b3 + ab≥a4 + b4 + 2a2 b2 = (a2 + b2 ) 2 ≥4. 当且仅当 a = b = 1 时,取“ = ”. B 级　 素养提升 1. B　 ∵ a + b + c = 0,且 abc > 0, ∴ a、b、c 必有一正数两负数, 不妨设 c > 0,a < 0,b < 0,则 1 a + 1 b + 1 c = bc + ac + ab abc = c(a + b) + ab abc = ab - (a + b) 2 abc = - (a 2 + b2 + ab) abc < 0, (∵ abc > 0,a2 + b2 + ab > 0) ∴ 1 a + 1 b + 1 c < 0. 2. C　 ∵ ( a + b)2 = a + 2 ab + b,∴ A2 - B2 > 0. 又 A > 0,B > 0,∴ A > B. 3. D　 ∵ a2 + b2 ≥2ab,b2 + c2 ≥2bc,c2 + a2 ≥2ca, ∴ a2 + b2 + c2 ≥ab + bc + ca,即 S≥P. 又三角形中 | a - b | < c,∴ a2 + b2 - 2ab < c2 ,同理 b2 - 2bc + c2 < a2 ,c2 - 2ac + a2 < b2 , ∴ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca),即 S < 2P. 4. D　 ax < ay(0 < a < 1),∴ x > y, 而幂函数 y = x3 在定义域上为增函数, ∴ x3 > y3 . 5. P≥Q≥R ∵ P = a + b 2 ,Q = ab, 2 R = 1 a + 1 b , ∴ R = 2ab a + b ≤Q = ab≤P = a + b 2 , 当且仅当 a = b 时取等号. 6. ≥　 1 2 [lg(1 + a) + lg(1 + b)] = 1 2 lg[(1 + a) (1 + b)] = lg [(1 + a)(1 + b)] 1 2 , lg(1 + a + b 2 ) = lg(a + b + 2 2 ). ∵ a > 0,b > 0, ∴ a + 1 > 0,b + 1 > 0, ∴ [(a + 1)(1 + b)] 1 2 ≤a + 1 + b + 1 2 = a + b + 2 2 , ∴ lg(1 + a + b 2 )≥lg[(1 + a)(1 + b)] 1 2 , 即 lg(1 + a + b 2 )≥ 1 2 [lg(1 + a) + lg(1 + b)] (当且仅当 a = b 时,等号成立). 7. 证明:欲证 tanα + tanβ > 2tan α + β 2 , 只需证 sinα cosα + sinβ cosβ > 2sin α + β 2 cos α + β 2 , 只需证 sin(α + β) cosαcosβ > 2sin α + β 2 cos α + β 2 . ∵ α + β 2 ∈[0, π 2 ],∴ sin α + β 2 > 0. 又∵ sin(α + β) = 2sin α + β 2 cos α + β 2 , 故只需证 cos α + β 2 cosαcosβ > 1 cos α + β 2 , ∴ 只需证 cos2 α + β 2 > cosαcosβ, 即证 1 + cos(α + β) 2 > cosαcosβ, 即证 1 + cosαcosβ - sinαsinβ > 2cosαcosβ. 只需证 1 > cos(α - β), ∵ α≠β,∴ 结论显然成立,故原不等式成立. 8. (1)证明:(a + b)(a5 + b5 ) = a6 + ab5 + a5 b + b6 = (a3 + b3 )2 - 2a3 b3 + ab(a4 + b4 ) = 4 + ab(a2 - b2 )2 ≥4. (2)证明:因为(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = 2 + 3ab(a + b)≤2 + 3(a + b) 2 4 (a + b) = 2 + 3(a + b) 3 4 , 所以(a + b)3 ≤8,因此 a +