3.1 二维形式的柯西不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 第三讲　 柯西不等式与排序不等式 一　 二维形式的柯西不等式 新知导学 　 　 1. (1)(ac + bd)2 　 ad = bc　 (2)( ac + bd)2 　 | ac + bd | 　 | ac | + | bd | 2. | α| | β | 　 零向量 3. (1) (x1 - x2 ) 2 + (y1 - y2 ) 2 (2) (x1 - x2 ) 2 + (y1 - y2 ) 2 思考运用:不可以. 当 b·d = 0 时,柯西不等式成立,但 a b = c d 不成立. 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:由柯西不等式得 (ax + by)2 ≤(a2 + b2 )(x2 + y2 ) = 1, ∴ | ax + by | ≤1. 　 　 跟踪练习 1:证明:∵ (a1 b1 + a2 b2 )( a1 b1 + a2 b2 ) = [( a1 b1 ) 2 + ( a2 b2 ) 2 ]·[( a1 b1 )2 + ( a2 b2 )2 ] ≥( a1 b1 · a1 b1 + a2 b2 · a2 b2 )2 = (a1 + a2 ) 2 , ∴ 原不等式得证. 　 　 典例试做 2:函数的定义域为(1,5),且 y > 0, y = 5 × x - 1 + 2 × 5 - x ≤ 52 + ( 2)2 × (x - 1)2 + ( 5 - x)2 = 27 × 4 = 6 3. 当且仅当 2 × x - 1 = 5 × 5 - x时,等号成立, 即 x = 127 27 时,函数取最大值 6 3. 　 　 跟踪练习 2:利用柯西不等式得,(3a + b)2 = (a·3 + b· 1)2 ≤(a2 + b2 )(32 + 12 ) = 10 × 10 = 100,即(3a + b)2 ≤100, 所以 |3a + b | ≤10, - 10≤3a + b≤10, 当且仅当 a = 3b 时,等号成立. 又 a2 + b2 = 10,所以 a2 = 9,b2 = 1. 所以当 a = - 3,b = - 1 时,3a + b 有最小值为 - 10; 当 a = 3,b = 1 时,3a + b 有最大值为 10. 　 　 典例试做 3:令 α = ( a + 1 2 , b + 1 3 ), β = ( 2,1),则 | α·β | = 2a + 1 + b + 1 3 . 而 | α| = a + 1 2 + b + 1 3 = 11 6 , 又 | β | = 3,所以 | α| | β | = 22 2 , 由 | α·β | ≤ | α| | β | ,得 2a + 1 + b + 1 3 ≤ 22 2 . 　 　 跟踪练习 3:(1) 设 a = ( 1 a - b · 1 b - c ),b = ( a - b, b - c), 由 | a·b | ≤ | a | | b | 得 2≤ 1 a - b + 1 b - c · (a - b) + (b - c), 即 1 a - b + 1 b - c ≥ 4 a - c ,当且仅当 a - b = b - c 即 a + c = 2b 时,等号成立,故 kmax = 4. (2)由原函数式得 2sinx + (3 - y)cosx = 4 - 2y, 设 a = (2,3 - y),b = (sinx,cosx), 由 | a·b | ≤ | a | | b | 得 |4 - 2y | ≤ 22 + (3 - y)2 , 解得 1 3 ≤y≤3,当且仅当 2 sinx = 3 - x cosx 时,等号成立. 故最大值及最小值分别为 3 与 1 3 . 　 　 典例试做 4:由柯西不等式得 x2 + 2y2 = (x2 + 2y2 ) × 1 = (x2 + 2y2 )( 1 x2 + 1 y2 ) ≥(x· 1 x + 2y· 1 y )2 = (1 + 2)2 = 3 + 2 2, 当且仅当 x2 = 2y2 时等号成立, 即 x2 = 2 + 1,y2 = 2 2 + 1 时,x2 + 2y2 有最小值为 3 + 2 2. 课后强化作业　 练案[9] A 级　 基础巩固 1. B 　 根 据 柯 西 不 等 式, 知 y = 1 × x - 5 + 2 × 6 - x ≤ 12 + 22 × ( x - 5)2 + ( 6 - x)2 = 5. 2. D　 ( 4a + 1 + 4b + 1)2 = (1 × 4a + 1 + 1 × 4b + 1)2 ≤ (12 + 12 )(4a + 1 + 4b + 1) = 2[4(a + b) + 2] = 2(4 × 1 + 2) = 12