3.2 一般形式的柯西不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ∴ (a + b)2 ≤ a 2 cos2 θ + b 2 sin2 θ . B 级　 素养提升 1. B　 由柯西不等式,得(mx + ny)2 ≤(m2 + n2 ) (x2 + y2 ) = ab, 当 m = n = a 2 ,x = y = b 2 时,mx + ny = ab. 2. A　 (a2 + b2 )[12 + ( - 1)2 ]≥(a - b)2 , ∵ a2 + b2 = 10,∴ (a - b)2 ≤20, ∴ - 2 5≤a - b≤2 5. 3. B　 (2x2 + 3y2 )[( 3)2 + ( 2)2 ] ≥( 6x + 6y)2 = [ 6(x + y)]2 = 6, 即 2x2 + 3y2 ≥ 6 5 . 4. 5　 ∵ y2 = (3 x - 5 + 4 6 - x)2 ≤(32 + 42 )[( x - 5)2 + ( 6 - x)2 ] = 25(x - 5 + 6 - x) = 25, 当且仅当 3 6 - x = 4 x - 5, 即 x = 134 25 时等号成立,∴ 函数 y 的最大值为 5. 5. 2　 根据二维形式的柯西不等式的代数形式知 (a2 + b2 )(c2 + d2 )≥(ac + bd)2 , 可得(am + bn) (bm + an) = (am + bn) (an + bm) ≥( am· an + bn· bm)2 = mn(a + b)2 = 2 × 1 = 2,当且仅当am an = bn bm ,即 m = n = 2时,取得最小值 2. 6. 6　 ∵ y = x - 4 + 25 - 5x, ∴ y = 1 × x - 4 + 5 × 5 - x ≤ (1 + 5)(x - 4 + 5 - x) = 6 ( 当 且 仅 当 5 - x = 5 · x - 4,即 x = 25 6 时等号成立. ) 7. 解:令 u = x + y,v = x - y,则 x = u + v 2 ,y = u - v 2 . ∵ x2 + y2 = 2,∴ (u + v)2 + (u - v)2 = 8, ∴ u2 + v2 = 4. 由柯西不等式,得( 1 u2 + 1 v2 )(u2 + v2 )≥4, 当且仅当 u2 = v2 = 2,即 x = ± 2,y = 0,或 x = 0,y = ± 2时, 1 (x + y)2 + 1 (x - y)2 的最小值是 1. 8. 证明:由柯西不等式,得 acos2 θ + bsin2 θ ≤[( acosθ)2 + ( bsinθ)2 ] 1 2 ( cos2 θ + sin2 θ) 1 2 = ( acos2 θ + bsin2 θ) 1 2 < c. 二　 一般形式的柯西不等式 新知导学 　 　 1. (a21 + a 2 2 + a 2 3 )(b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 )≥(a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) 2 2. (a21 + a 2 2 + … + a 2 n)(b 2 1 + b 2 2 + … + b 2 n)≥(a1 b1 + a2 b2 + … + anbn) 2 思考运用:不可以. 因为若出现 bi = 0(i = 1,2,3)的情况,则 分式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆. 互动探究解疑 　 　 典 例 试 做 1: 由 柯 西 不 等 式, 知 左 边 = [( a b )2 + ( b c )2 + ( c a )2 ] × [( b a )2 + ( c b )2 + ( a c )2 ] ≥( b a × a b + b c × c b + c a × a c )2 = (1 + 1 + 1)2 = 9, ∴ 原不等式成立. 　 　 跟 踪 练 习 1: 证 明: 构 造 两 组 数 a + b, b + c, c + a, 1 a + b , 1 b + c , 1 c + a ,由柯西不等式,得[(a + b) + (b + c) + (c + a)]·( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a )≥(1 + 1 + 1)2 , 即 2(a + b + c) ( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ) ≥9,于是 2 a + b + 2 b + c + 2 c + a ≥ 9 a + b + c ,当且仅当 a = b = c 时,取等号. 　 　 典例试做 2:因为 a + 2b + 4c = 3,所以(a + 1) + 2(b + 1) + 4 (c + 1) = 10. 因为 a、b、c 为正数, 所以[(a + 1) + 2 ( b + 1) +