3.3 排序不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 z 3 )≥(1 + 1 + 1)2 = 9. 5. B　 (2b2 + 3c2 + 6d2 )( 1 2 + 1 3 + 1 6 )≥(b + c + d)2 , 即 2b2 + 3c2 + 6d2 ≥(b + c + d)2 , 当且仅当存在数 k = 1 或 2,使得 2b 1 2 = 3c 1 3 = 6d 1 6 = k 时 等号成立,由条件得 5 - a2 ≥(3 - a)2 , 解得 1≤a≤2,即 a 的最大值是 2. 6. B 7. 9　 (a + b + c) ( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥( a· 1 a + b· 1 b + c· 1 c )2 = 9. 8. 1 98 9. 442 10. 证明:由柯西不等式得 (a2 + b2 + c2 )2 = (a2 + b2 + c2 ) (b2 + c2 + a2 ) ≥( ab + bc + ac)2 , ∵ a2 + b2 + c2 = 1, ∴ (ab + bc + ca)2 ≤1,∴ ab + bc + ca≤1,① 再由(a + b + c)2 ≥0,得 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)≥0, 于是 2(ab + bc + ca)≥ - (a2 + b2 + c2 ) = - 1, 即 ab + bc + ca≥ - 1 2 ,② 由①②命题得证. 11. 解:(1)因为 |2x + 2 | - |2x - 1 | - t≥0 所以 | 2x + 2 | - | 2x - 1 | ≥t 又因为 |2x + 2 | - |2x - 1 | ≤ |2x + 2 - (2x - 1) | = 3 (2)由(1)可知,a = 3,则 方法一: 1 m + p + 2 n + p = 1 3 1 m + p + 4 2n + 2p( )[(m + p) + (2n + 2p )] = 1 3 [ 1 + 4 + 2n + 2p m + p + 4(m + p) 2n + 2p ] ≥ 1 3 1 + 4 + 2 2n + 2p m + p ·4(m + p) 2n + 2p( ) = 3 ∴ 1 m + p + 2 n + p ≥3. 方 法 二: 利 用 柯 西 不 等 式 1 m + p + 2 n + p = 1 3 1 m + p + 4 2n + 2p( )[( m + p ) + ( 2n + 2p )] ≥ 1 3 1 m + p · m + p + 4 2n + 2p · 2n + 2p( ) 2 = 3 ∴ 1 m + p + 2 n + p ≥3. B 级　 素养提升 1. D 2. B　 利用柯西不等式得 [x2 + ( 2 y )2 ][( 1 x )2 + y2 ]≥(x· 1 x + 2 y ·y)2 , ∴ (x2 + 4 y2 )(y2 + 1 x2 )≥32 = 9. 故选 B. 3. C　 由柯西不等式,得 (x + 2y + 2z)2 ≤(12 + 22 + 22 )(x2 + y2 + z2 ) = 9, 所以 - 3≤x + 2y + 2z≤3. 当且仅当 x = y 2 = z 2 时,右边等号成立. 所以 x + 2y + 2z 的最大值为 3. 4. B　 由柯西不等式,得 (12 + 12 + 12 )[x2 + y2 + (1 - x - y)2 ] ≥[x + y + (1 - x - y)]2 = 1,即 x2 + y2 + (1 - x - y)2 ≥ 1 3 , 当且仅当 x = y = 1 - x - y,即 x = y = 1 3 时, x2 + y2 + (1 - x - y)2 取得最小值 1 3 . 5. 16 6. 3 + 2 2 7. 9　 2x + 2y + z + 8 = 0⇒2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9. 考虑以下两组向量: u = (2,2,1),v = (x - 1,y + 2,z - 3), 由柯西不等式,得(u·v)2 ≤ | u | 2 · | v | 2 , 即[2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)]2 ≤(22 + 22 + 12 ) ·[(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 ]. 所以(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 ≥( - 9) 2 9 = 9, 当且仅当 x = - 1,y = - 4,z = 2 时,等号成立,此时取得最小 值 9. 8. 证明:根据柯西不等式,得[(4y + 3z) + (3z + 5x) + (5x + 4y)]( 25x 2 4y +