考案(三) 第一、二讲学业质量标准检测-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 故 3(1 + x2 + x4 )≥(1 + x + x2 )2 . 18. 证明:∵ 1 k2 < 1 k(k - 1) = 1 k - 1 - 1 k , ∴ 1 22 + 1 32 + … + 1 n2 < 11 - 1 2( ) + 1 2 - 1 3( ) + … + 1 n - 1 - 1 n( ) = 1 - 1 n < 1. 19. 因为 a、b、c 均为正实数, 所以 1 2 ( 1 2a + 1 2b )≥ 1 2 ab ≥ 1 a + b , 当且仅当 a = b 时等号成立; 1 2 ( 1 2b + 1 2c )≥ 1 2 bc ≥ 1 b + c , 当且仅当 b = c 时等号成立; 1 2 ( 1 2c + 1 2a )≥ 1 2 ca ≥ 1 c + a , 当且仅当 a = c 时等号成立. 三个不等式相加,得 1 2a + 1 2b + 1 2c ≥ 1 b + c + 1 c + a + 1 a + b , 当且仅当 a = b = c 时等号成立. 20. (1)当 n = 1 时,4a1 = a 2 2 - 5,a 2 2 = 4a1 + 5,∵ an > 0, ∴ a2 = 4a1 + 5. (2)当 n≥2 时,4Sn - 1 = a 2 n - 4(n - 1) - 1,4an = 4Sn - 4Sn - 1 = a2n + 1 - a 2 n - 4, a2n + 1 = a 2 n + 4an + 4 = (an + 2) 2 ,∵ an > 0,∴ an + 1 = an + 2 ∴ 当 n≥2 时,{an}是公差 d = 2 的等差数列. ∵ a2 ,a5 ,a14 构成等比数列,∴ a 2 5 = a2 ·a14 即(a2 + 6) 2 = a2 · (a2 + 24),解得 a2 = 3, 由(1)可知,4a1 = a 2 2 - 5 = 4,∴ a1 = 1. ∵ a2 - a1 = 3 - 1 = 2,∴ {an } 是首项 a1 = 1,公差 d = 2 的等 差数列. ∴ 数列{an}的通项公式为 an = 2n - 1. (3) 1 a1 a2 + 1 a2 a3 + … + 1 anan + 1 = 1 1·3 + 1 3·5 + 1 5·7 + … + 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 2 ·[(1 - 1 3 ) + ( 1 3 - 1 5 ) + ( 1 5 - 1 7 ) + ( 1 2n - 1 - 1 2n + 1 )] = 1 2 ·(1 - 1 2n + 1 ) < 1 2 . 21. 证明:∵ a > b > c, ∴ a - b > 0,b - c > 0,a - c > 0. ∴ (a - c)( 1 a - b + 1 b - c ) = [(a - b) + (b - c)]( 1 a - b + 1 b - c ) ≥2 (a - b)(b - c)·2 1 a - b · 1 b - c = 4. ∴ 1 a - b + 1 b - c ≥ 4 a - c . 22. 解:(1)d1 = d2 = 1,d3 = d4 = 3. (2)(充分性)因为{an}是公差为 d 的等差数列,且 d≥0, 所以 a1 ≤a2 ≤…≤an≤…. 因此 An = an,Bn = an + 1 ,dn = an - an + 1 = - d(n = 1,2,3,…). (必要性)因为 dn = - d≤0(n = 1,2,3,…), 所以 An = Bn + dn≤Bn. 又因为 an≤An,an + 1 ≥Bn, 所以 an≤an + 1 . 于是,An = an,Bn = an + 1 . 因此 an + 1 - an = Bn - An = - dn = d, 即{an}是公差为 d 的等差数列. (3)因为 a1 = 2,d1 = 1, 所以 A1 = a1 = 2,B1 = A1 - d1 = 1. 故对任意 n≥1,an≥B1 = 1. 假设{an}(n≥2)中存在大于 2 的项, 设 m 为满足 am > 2 的最小正整数, 则 m≥2,并且对任意 1≤k < m,ak≤2. 又因为 a1 = 2,所以 Am - 1 = 2,且 Am = am > 2. 于是,Bm = Am - dm > 2 - 1 = 1,Bm - 1 = min{am,Bm}≥2. 故 dm - 1 = Am - 1 - Bm - 1 ≤2 - 2 = 0,与 dm - 1 = 1 矛盾. 所以对于任意 n≥1,有 an ≤2,即非负整数列{an } 的各项只 能为 1 或 2. 因为对任意 n≥