1.4 柱坐标系与球坐标系简介-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 3 4 < 1, ∴ 直线与圆相交,有两个公共点. 9. 将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2 + y2 = 2x,即(x - 1)2 + y2 = 1,直线的方程为 3x + 4y + a = 0. 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有 |3 × 1 + 4 × 0 + a | 32 + 42 = 1,解得 a = 2 或 a = - 8. 故 a 的值为 - 8 或 2. 10. 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位. (1)∵ x = ρcosθ,y = ρsinθ,∴ 由 ρ = 4cosθ 得 ρ2 = 4ρcosθ,∴ x2 + y2 = 4x. 即 x2 + y2 - 4x = 0 为☉O1 的直角坐标方程. 同理 x2 + y2 + 4y = 0 为☉O2 的直角坐标方程. (2)由 x2 + y2 - 4x = 0 x2 + y2 + 4y = 0{ ,得 4x + 4y = 0. 过交点的直线的直角坐标方程为 y = - x. 第四节　 柱坐标系与球坐标系简介 新知导学 　 　 1. x = ρcosθ y = ρsinθ z = z { 2. θ　 90° - φ　 x = rsinφcosθ y = rsinθsinφ z = rcosφ { 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:(1)设点 M 的柱坐标为(ρ,θ,z), 则有 1 = ρcosθ　 　 ① 1 = ρsinθ　 　 ② z = 1 { 由①2 + ②2 得 ρ2 = 2,即 ρ = 2. 由② ÷ ①得 tanθ = 1. 又点 M 在第Ⅰ象限,所以 θ = π 4 . ∴ ρ = 2 θ = π 4 z = 1 ì î í ï ï ïï . 故点 M 的柱坐标为( 2, π 4 ,1). (2)设点 P 的直角坐标为(x,y,z), 则有 x = ρcosθ = 2cos π 3 = 1 y = ρsinθ = 2sin π 3 = 3 z = 7 ì î í ï ïï ï ï . 所以点 P 的直角坐标为(1, 3,7). 　 　 跟踪练习 1:设点的直角坐标为(x,y,z). (1)∵ (ρ,θ,z) = (2,0, - 2), ∴ x = 2cos0 = 2 x = 2sin0 = 0 z = - 2 { . ∴ (2,0, - 2)为所求. (2)∵ (ρ,θ,z) = (π,π,π), ∴ x = πcosπ = - π y = πsinπ = 0 z = π { , ∴ ( - π,0,π)为所求. 典例试做 2:(1)设点 M 的球坐标为(r,φ,θ), 则由 x = rsinφcosθ y = rsinφsinθ z = rcosφ { ,得 1 = rsinφcosθ 3 = rsinφsinθ 2 = rcosφ { . ∴ tanθ = 3. ∵ 0≤θ < 2π,x > 0,∴ θ = π 3 . r = 12 + ( 3)2 + 22 = 2 2. ∴ 2 = 2 2cosφ,∴ cosφ = 2 2 . ∵ 0≤φ≤π,∴ φ = π 4 . ∴ 点 M 的球坐标为(2 2, π 4 , π 3 ). (2)设点 P 的直角坐标为(x,y,z), 则有 x = rsinφcosθ = 2sin π 6 cos π 3 = 1 2 y = rsinφsinθ = 2sin π 6 sin π 3 = 3 2 z = rcosφ = 2cos π 6 = 3 ì î í ï ï ï ï ïï , 故点 P 的直角坐标为( 1 2 , 3 2 , 3). 跟踪练习 2:设点的直角坐标为(x,y,z), (1)∵ (r,φ,θ) = (2,3π 4 ,5π 4 ), ∴ x = rsinφcosθ = 2sin 3π 4 cos 5π 4 = - 1 y = rsinφsinθ = 2sin 3π 4 sin 5π 4 = - 1 z = rcosφ = 2cos 3π 4 = - 2 ì î í ï ï ï ï ïï , ∴ ( - 1, - 1, - 2)为所求. (2)∵ (r,φ,θ) = ( 6, π 3 ,2π 3 ), ∴ x = rsinφcosθ = 6sin π 3 cos π 6 = 3 6 4 y = rsinφsinθ = 6sin π 3 sin π 6 = 3 2 4 z = rcosφ = 6cos π 3 = 6 2 ì î í ï ï ï ï ï ï , ∴ (3 6 4 ,3 2 4 , 6 2 )为所求. 典例试做 3:设纬度圈的圆心为 O′,地球球心为 O,如图,OA