2.1 曲线的参数方程-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 所以圆心(1,0)到直线 x + y - a = 0 的距离等于圆的半径,即 d = |1 + 0 - a | 2 = 1, 所以 a = 1 ± 2,又 a > 0,所以 a = 1 + 2. 17. 将直线极坐标方程化成普通方程应为 ρ cosθcos π3 + sinθsin π 3( ) = 2 即 x + 3y - 4 = 0. ∴ 点 1 2 m, 3 2 m( )到直线 x + 3y - 4 = 0 的距离为 1 2 m + 3· 3 2 m - 4 1 + 3 = 2 | m - 2 | 2 = | m - 2 | . 18. 将 x′ = 2x y′ = 2y{ 代入(x′ - 5) 2 + (y′ + 6)2 = 1, 得(2x - 5)2 + (2y + 6)2 = 1, 即(x - 5 2 )2 + (y + 3)2 = 1 4 . 故曲线 C 是以( 5 2 , - 3)为圆心, 1 2 为半径的圆. 19. C 点的 ρ、θ 分别为 | OC | 及∠COA,B′点的 ρ,θ 分别为 | OB | = | OA | 2 + | AB | 2 = 32 + 32 = 3 2,θ = ∠BOA,tan∠BOA = | AB | | OA | = 3 3 = 1, ∴ ∠BOA = π 4 . P 点 的 ρ, θ 为 | OE | , ∠AOE, | OE | = 1 2 | OB | , ∠AOE = ∠AOB, ∴ C 点的柱坐标为(3, π 2 ,0); B′点的柱坐标为(3 2, π 4 ,3);P 点的柱坐标为(3 2 2 , π 4 , 3). 20. (1)由 x = ρcosθ,y = ρsinθ,x2 + y2 = ρ2 得 C2 的直角坐标方程 为(x + 1)2 + y2 = 4. (2)由(1)知 C2 是圆心为 A( - 1,0),半径为 2 的圆. 由题设知,C1 是过点 B(0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线. 记 y 轴右边的射线为 l1 ,y 轴左边的射线为 l2 . 由于点 B 在圆 C2 的外面,故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有两个公共点,或 l2 与 C2 只有 一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点. 当 l1 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l1 所在直线的距离为 2, 所以 | - k + 2 | k2 + 1 = 2,故 k = - 4 3 或 k = 0. 经检验,当 k = 0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k = - 4 3 时,l1 与 C2 只有一个公共点,l2 与 C2 有两个公共点. 当 l2 与 C2 只有一个公共点时,A 到 l2 所在直线的距离为 2, 所以 | k + 2 | k2 + 1 = 2,故 k = 0 或 k = 4 3 . 经检验,当 k = 0 时,l1 与 C2 没有公共点;当 k = 4 3 时,l2 与 C2 没有公共点. 综上可得,k = - 4 3 ,C1 的方程为:y = - 4 3 | x | + 2. 21. (1)设极点为 O. 在△OAB 中,A 3, π4( ),B 2, π 2( ), 由余弦定理,得 AB = 32 + ( 2)2 - 2 × 3 × 2 × cos π2 - π 4( ) = 5. (2)解:因为直线 l 的方程为 ρsin θ + π4( ) = 3, 所以直线 l 过点 3 2, π2( ),倾斜角为 3π 4 . 又 B 2, π2( ),所以点 B 到直线 l 的距离为(3 2 - 2) × sin 3π4 - π 2( ) = 2. 22. (1)解:设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ > 0),M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0). 由题设知 | OP | = ρ,| OM | = ρ1 = 4 cosθ . 由 | OM | ·| OP | = 16 得 C2 的极坐标方程为 ρ = 4cosθ(ρ > 0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x - 2) 2 + y2 = 4(x≠0). (2)解:设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB > 0). 由题设知 | OA | = 2,ρB = 4cosα,于是△OAB 的面积 S = 1 2 | OA | ·ρB·sin∠AOB = 4cosα·| sin(α - π 3 ) | = 2 | sin(2α - π 3 ) - 3 2 | ≤2 + 3. 当 α = - π 12 时,S 取得最大值 2 + 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2 + 3. 第二讲　 参数方程 第一节　 曲线