6.4.2 余弦定理-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 6.4.2 余弦定理 余弦定理 1 余弦定理的描述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的两倍.符号语言：在ΔABC中，三个角A、B、C所对的边分别是，则有 适用范围：任意的三角形 结构特征：“平方”“乘积”“夹角”“余弦” 简单应用：等式中的三个边和一个角，四个元素可以做到“知三求一” 余弦定理 1 余弦定理的应用 已知三角形的三边，求三角形的三个内角 ——考什么 已知三角形的两边及一个角，求其他边和角 ——怎么考 作为知识形态，放在选择题，填空题中考 作为工具形态，和其他知识点比如不等式、 向量结合考 勾股定理与余弦定理的联系: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方与其中一个角之间的关系，因此勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【1】向量法 从而 如图，因为AC=AB+AC， 所以AC2=(AB+BC)2，即 AC2=AB2+BC2+2AB · BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B) 同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【2】解析法(建系法) 如图，以A为坐标原点，边AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(,0),C( ) 所以 即 同理可证， 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【3】几何法 ①当ΔABC为锐角三角形时，如图，过顶点C作 CD⊥AB于点D，则 在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2， 即 同理可证， 余弦定理 1 余弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【3】几何法 ②当ΔABC为直角三角形时，同理可证. ③当ΔABC为钝角三角形时，如图，过顶点C作CD⊥AB，交AB的延长线与点D， 则 在RtΔBCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，即 同理可证， 余弦定理 1 余弦定理的应用 用余弦定理判断三角形的类型： ①如果，那么角是直角； 由此可