专题2.7 三角形的中位线（知识讲解）-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题2.7 三角形的中位线（知识讲解） 【学习目标】 4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2） 三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【典型例题】 类型一、三角形中位线有关的求解问题 1．如图，中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【解析】 （1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE和CD，从而计算结果． （1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB， ∴CD=DA=DB， ∴∠DAC=∠DCA， ∵∠CEF=∠A， ∴∠CEF=∠DCE， ∴CD∥EF， ∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥CF， ∴四边形DCEF是平行四边形． （2）∵D、E分别是AB、AC的中点，， ∴DE=BC=1，CD=AB=3， ∴四边形的周长为（1+3）×2=8． 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 举一反三 【变式】已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，且AB=BE． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长． （1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线， ∴CD∥BE，CD=BE， ∴AB=BE， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=3cm， ∵CD是Rt△FBE的中位线， ∴BC=CE=EF， ∵∠E=60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE=BC=3cm． 【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD∥AB，CD=AB是解此题的关键． 类型二、三角形中位线与面积问题 2．如图，为的中线，为的中线． （1），，求 的度数； （2）若的面积为40，，则到边的距离为多少． 【答案】（1）；（2）4． 【分析】 （1）根据三角形内角与外角的性质解答即可； （2）过作边的垂线即可得：到边的距离为的长，然后过作边的垂线，再根据三角形中位线定理求解即可． 解：（1）是的外角， ； （2）过作边的垂线，为垂足，则为所求的到边的距离， 过作边的垂线， 为的中线，， ， 的面积为40， ，即，解得， ∵为的中线， ∴， 又∵为的中线， ∴， 则有： ． 即到边的距离为4． 【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键． 举一反三 【变式】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． （1）求证：四边形EBCF是等腰梯形； （2）EF=1，求四边形EBCF的面积． （1）证明：∵点E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF//BC，BE=AB=AC=CF， ∴四边形EBCF是等腰梯形； （2）如图，延长BC至点G，使CG=EF，连接FG， ∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF， ∴四边形EFGC是平行四边形， 又∵四边形EBCF是等腰梯形， ∴FG=EC=BF， ∵EF=CG，FC=BE， ∴△EFB≌△CGF（SSS）， ∴， ∵GC=EF=1，且EF=BC， ∴BC=2， ∴BG=BC+CG=1+2=3． ∵FG//EC， ∴∠GFB=∠BOC=90°， ∴FH=BG=， ∴． 【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 类型三、与三角形有关的证明 3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点 求证：2AM＝BE 【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=证出∠CAN=