专题19 等差数列与等比数列基本量的问题-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】

专题19 等差数列与等比数列基本量的问题 【知识框图】 【自主热身，归纳总结】 1、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则 A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ， 解得 ， ，故选C． 2、【2018年高考全国I卷理数】设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为 ，根据题中的条件可得 ， 整理解得 ，所以 ，故选B． 3、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若 ，则S5=___________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ， 所以 所以 ． 4、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和， ，则 ___________． 【答案】4 【解析】设等差数列{an}的公差为d, 因 ，所以 ，即 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ． 5、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________． 【答案】 0， . 【解析】等差数列 中, ,得 又 ,所以公差 , , 由等差数列 的性质得 时, , 时, 大于0,所以 的最小值为 或 ,即为 . 6、【2019年高考江苏卷】已知数列 是等差数列， 是其前n项和.若 ，则 的值是___________． 【答案】16 【解析】由题意可得： ， 解得： ，则 . 7、【2018年高考全国I卷理数】记 为数列 的前 项和，若 ，则 ___________． 【答案】 【解析】根据 ，可得 ，两式相减得 ，即 ，当 时， ，解得 ，所以数列 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以 ，故答案是 . 8、【2018年高考北京卷理数】设 是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则 的通项公式为___________． 【答案】 【解析】设等差数列的公差为 ， 9、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列 的公比 ，等差数列 的首项 ，若 且 ，则以下结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 等比数列 的公比 ， 和 异号， ，故A正确； 但不能确定 和 的大小关系；故B不正确； 和 异号，且 且 ， 和 中至少有一个数是负数， 又 ， ，故D正确， 一定是负数，即 ，故C不正确； 故选：AD 10、（多选题）（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列 的公比为q,其前n项和为 ,前n项积为 ,并满足条件 , ,下列结论正确的是( ) A．S2019<S2020 B． C．T2020是数列 中的最大值 D．数列 无最大值 【答案】AB 【解析】 当 时， ，不成立； 当 时， ， 不成立； 故 ，且 ，故 ， 正确； ，故 正确； 是数列 中的最大值， 错误； 故选： 11、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中  襄阳三中）已知数列 的前 项和为 ， . （1）证明：数列 为等比数列； （2）若 ，求数 【解析】（1）对任意的 ， ，则 且 ， 所以，数列 是以3为首项，以3为公比的等比数列； （2）由（1）可得 ， . 当 时， ， 也适合上式， 所以， . 所以 【问题探究，变式训练】 题型一、等差数列与等比数列的基本量 例1、【2019年高考全国I卷理数】记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知， ，解得 ，∴ ， ,故选A． 变式1、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环， 则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ， 设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为 ，因为下层比中层多729块， 所以 ， 即 即 ，解得 ， 所以 . 故选：C 变式2、【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 就是二阶等差数列．数列 的前3项和是_______． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ． 即 ． 故