17.1 勾股定理（能力提升）-2020-2021学年八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理（基础巩固） 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 要点三、勾股定理的作用 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 例1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积． 【答案与解析】 解：延长AD、BC相交于点E ∵ ∠B＝90°，∠A＝45° ∴ ∠E＝45°，∴ AB＝BE＝2 ∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠DCE＝45°， ∴ CD＝DE＝1 ∴ ，． ∴ ． 【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题． 举一反三： 【变式】已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长． 【答案】 解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D， 在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2， ∴AD===3， ∵∠ABC=135°， ∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3， 在Rt△ADC中，CD=2+3=5， 由勾股定理得，AC===． 例2、已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积． 【思路点拨】欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为，结合勾股定理