6.1 平方根（能力提升）-2020-2021学年七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

第六章 实数 6.1 平方根（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 例1、已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根． 【思路点拨】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案． 【答案与解析】 解：根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8； 故a=5，b=2； 又∵2＜＜3， ∴c=2， ∴a+b+c=5+2+2=9， ∴9的平方根为±3． 【总结升华】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，还要掌握实数的基本运算技能，灵活应用． 举一反三： 【变式】已知2－1与－＋2是的两个不同的平方根，求的值. 【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2互为相反数. 解：当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1， 所以＝ 例2、为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案与解析】 解：(1)因为，所以当取