1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-2020-2021学年高一数学集合与常用逻辑用语专题强化突破导学案

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义 2.会对含有一个量词的命题进行否定 3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题 【自主学习】 知识点1 全称量词命题的否定 写全称命题的否定的方法： ①更换量词，将全称量词换为存在量词； ②将结论否定． 对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定 ¬p：∃x0∈M，¬p(x0)． 全称命题的否定是特称命题． 知识点2 存在量词命题的否定 写特称命题的否定的方法： ①将存在量词改写为全称量词， ②将结论否定． (1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬ p：∀x∈M，¬ p(x)． (2)对含有一个量词的命题进行否定， 先对量词进行否定，全称量词变为存在量词， 存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可. 【合作探究】 探究一 全称量词命题的否定 【例1】(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x≥0 D．存在x0∈R，使得x<0 (2)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________． 【答案】　(1)D　(2)∃x0∈R，|x0|＋x<0 [解析]　(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R，使得x<0”，故选D. (2)全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”． 归纳总结：全称量词命题的否定形式与判断真假的方法： 1求全称量词命题的否定命题，先将全称量词调整为存在量词，再对性质px否定为px. 2若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 【练习1】　(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　) A．p：∃x∈A,2x∈B B．p：∃x∉A,2x∈B C．p：∃x∈A,2x∉B D．p：∀x∉A,2x∉B (2)命题“∀x>0，>0”的否定是(　　) A．∃x0>0，≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1 C．∀x>0，≤0 D．∀x<0,0≤x≤1 【答案】(1)C B(2) 解析：(1)全称量词命题的否定是存在量词命题，将“∀”改为“∃”，“2x∈B”否定为“2x∉B”，即p：∃x∈A,2x∉B. (2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，>0”的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”，故选B. 探究二 存在量词命题的否定及真假判定 【例2】写出下列存在量词命题p的否定綈p，并判断p的真假． (1)p：∃x0<0，x0＋＋2<0. (2)p：有一个质数含有三个正因数． (3)p：存在实数m0，x2＋x＋m0＝0的两根都是正数． [解]　(1)p：∀x<0，x＋＋2≥0. 当x＝－2，x＋＋2<0，所以綈p是假命题． (2)p：每一个质数都不含有三个正因数，綈p是真命题． (3)p：对任意实数m，x2＋x＋m＝0的两根不都是正数． 假设x2＋x＋m＝0的两根x1，x2都是正数，则必须即此不等式组无解，所以不存在实数m0，使x2＋x＋m0＝0的两根都是正数，命题p为假命题，所以p为真命题． 归纳总结：若全称量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——存在量词命题为真命题解决，同理，若存在量词命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称量词命题为真命题解决 【练习2】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 解：(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于四条边相等的平行四边形是菱形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． 当x＝0，y＝3时，x＋y＝3， 因此命题的否定是假命题． 探究三 利用全称命题与特称命题求参数取值范围 【例3】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命 题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围． 解　由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥