8.2.1-8.2.2 一元线性回归模型、一元线性回归模型参数的最小二乘估计-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.1一元线性回归分析 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.了解随机误差、残差、残差图的概念 2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果 3.掌握建立线性回归模型的步骤 4.掌握非线性回归转化为线性回归的方法，会求非线性回归方程，并作出预测 【自主学习】 知识点一 线性回归模型 (1)函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系． (2)回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－， 其中(，)称为样本点的中心． (4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为 ，自变量x称为 ，因变量y称为 ． 知识点二 残差的概念 对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝ ， i＝1，2，…，n，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i＝1，2，…，n，i称为相应于点(xi，yi)的 ． 知识点三 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时 为残差， 可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点 地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法 残差平方和 (yi－i)2，残差平方和 ，模型拟合效果越好． (3)利用R2刻画回归效果 R2＝1－；R2表示 变量对于 变量变化的贡献率．R2越接近于 ，表示回归的效果越好. 【合作探究】 探究一 求线性回归方程 【例1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 学科　　　　 A B C D E 数学成绩(x) 88 76 73 66 63 物理成绩(y) 78 65 71 64 61 (1)画出散点图； (2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 归纳总结： 【练习1】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据： 房屋面积/m2 115 110 80 135 105 销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格． 探究二 线性回归分析 【例2】为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 (1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R2； (3)进行残差分析． 归纳总结： 【练习2】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 探究三 非线性回归分析 【例3】下表为收集到的一组数据： x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325 (1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系； (2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x＝40时y的值． 归纳总结： 【练习3】为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 (1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系； (3)计算相关指数． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．在下列各量之间，存在相关关系的是(　　) ①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系． A．②③