第6讲 正余弦定理（原版+解析）-【新教材】人教B版（2019）高一数学寒假衔接讲义（机构专用）

第六讲 正 余弦定理 一.正 余弦定理 1.正弦定理：在三角形中 其中：为三角形各边边长；为各边所对的角；为三角形外接圆半径 推论：⑴边化角 ⑵角化边 ⑶ ⑷ 2.余弦定理：在三角形中或 推论：⑴若为锐角，则 ⑵若为直角，则 ⑶若为钝角，则 ⑷射影定理： 二.三角形内角的三角关系 在三角形中, 则⑴ ⑵, ⑶,, ⑸ 三.三角形面积 （为边长，为边上的高） （为内切圆的半径） （为外接圆半径） 考点一 边角互化 1.边角互化（推论⑴⑵） 2.六个原则： 已知条件 起手步定理 注意事项 三角形确定 SSS 余弦定理 SAS 余弦定理 AAS/ASA 正弦定理 SSA 正弦定理求特殊角 大边对大角舍解 非特殊角用余弦定理 画图舍解 三角形不确定 AAA 正弦定理 （三角关系可推出三边关系） 联立其他条件 AS 余弦定理（可推出两边关系） 例1.的内角的对边分别为，已知 ⑴求；边互角⑵若，的面积为，求周长 余弦 随1.1的内角的对边分别为，已知，求；角化边 例2.在中，,求 （SSS 余弦） 随2.1已知在中，,则 SAS 随2.2已知在中，，的平分线， SSA正弦 随2.3在中，求10 AAA正弦 随2.4在中，，求 AAS/ASA正弦 随2.5在中，，求 2 2 AS 余弦 考点二 求范围 1.三角函数求值域范围 2.均值最值 ⑴已知一角和一边 ⑵ 例3.在中，, ⑴求； ⑵的最大值 1 例4.在三角形中，，求；范围；最值 例5.在的内角的对边分别为，已知 ⑴求 ⑵求的最小值 均值 考点三 判断三角形形状 ⑴为钝角 ⑵锐角三角形 钝角三角形 ⑶直角三角形 ⑷等腰或直角三角形 ⑸等腰三角形 ⑹判断三角形个数 例6.在中，若，则此三角形是钝角三角形． 随6.1在的内角的对边分别为，且，，判断形状 等腰三角形 考点四 实际应用问题 ⑴角平分线 ①（大三角形面积=两个小三角形面积和） ② （两个三角形分别列正弦定理） 证明：有下列两个式子推出：； ⑵中线 ① ② （两个三角形分别列正弦定理） ⑶航海 几何图形问题 课后作业 1.的内角的对边分别为且满足,则是直角三角形 2.在中,角的对边分别为,且,. ⑴角的大小 ⑵若求边的长和的面积. 3.在中,角对应的边分别是,已知 ⑴求角的大小 ⑵若的面积，求的值. 4.已知函数，三个内角的对边分别为. ⑴求的单调递增区间; ⑵若，求角的大小. 5. 为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工具，做的数据如图，则小区面积 6.在中，，则60°或120°. 7.在锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于 A. B. C. D. A 在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. ∴sin A＝.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈，∴A＝. 8.在中，角所对的边分别为，若，则____ __. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，即b＝5. 所以sin C＝＝＝. 9.在中，，则(　　)．B A. B. C.或 D. 解析　(1)由正弦定理，得＝，解得：sin C＝，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. 10.在中，内角的对边分别是，若，则 (　　)． A. B. C. D. ∵sin C＝2sin B，由正弦定理，得c＝2b， ∴cos A＝＝＝＝， 又A为三角形的内角，∴A＝30°. 11.在中，分别为内角的对边，且 ⑴求角的大小； ⑵若，试判断的形状． 解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝，∴A＝60°. (2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝. ∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°. ∴B＋30°＝90°，B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，△A