第5讲 两个角的和与差公式（原版+解析）-【新教材】人教B版（2019）高一数学寒假衔接讲义（机构专用）

两角和与差的正弦、余弦和正切 1.两角的和与差： 2.二倍角公式： 降幂公式： 半角公式：； 注：①在含有根式的三角函数式化简中要注意符号的选取；当的终边在直线的上方时；当的终边在直线的下方时； ②在恒等变换时要注意等价性和准确性 考点一　三角函数式的求值问题 例1.若，且，则角的终边所在象限为 第四象限   【解析】本题考查三角函数的概念、公式的应用.由cosθ>0,sin2θ=2sinθcosθ<0得sinθ<0,则角θ的终边在第四象限,故选D. 例2.若角的终边过点，则   【解析】由题意可得sin α=,则cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-, 例3. [2017·高考山东卷(文)]已知，则    【解析】因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2×-1=. 随3.1已知为第二象限角，，则tan　  【解析】由题意得cos α=-=-,则tan α==-2,故tan =-. 例4. [2017·全国新课标卷III (文)]已知，则   【解析】因为sin α-cos α=,所以=1-2sin αcos α=1-sin 2α=⇒sin 2α=-, 随4.1已知，则 1    【解析】由sinα+cosα=-,得sin=-,即sin=-1,所以α+=2kπ+(k∈Z),即α=2kπ+(k∈Z),故tanα=tan=tan =1. 例5.已知，且，则 【解析】∵cosα=-,α∈,∴sinα=,tanα=-,∴tan(α+)=, 随5.1 ，，则的值为   (sinα+cosα)2=1+sin2α=,∵0<α<,∴sinα+cosα=,∴cos=sinα+cosα=, 例6. 答案： 随6.1已知是第二象限角，且，则　   【解析】由sin=-得cos α=-,∵α是第二象限角,∴tan α=-2,∴原式=· 例7.已知，，则  【解析】 由=2tan α=2,得tan α=1,故tan β=tan=. 随7.1已知，且，，则的值是(　　)  【解析】tanα=tan(α-β+β)=,tan(2α-β)=tan(α+α-β)==1.因为tanα>0,tanβ<0,所以<β<π,0<α<,-π<α-β<0,又因为tan(α-β)>0,所以-π<α-β<-,得-π<2α-β<0,又tan(2α-β)>0,-π<2α-β<-,所以得2α-β=-π,故选C. 考点二　辅助角公式的转化 辅助角公式： ，(为不为0常数) 正弦型函数： 其中 例7.将下列各函数化为型： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 课后作业 1.已知，则   【解析】本题考查三角恒等变换.sin(x+)=cosx=,则cos2x=2cos2x-1=-1=-,故选C. 2.若，则    【解析】本题考查降幂公式和诱导公式的应用.=== 3.化简： 答案: 4.设为第二象限角，若，则  【解析】由tan=得=,代入sin2+cos2=1,得sin2=,因为θ为第二象限角,且tan=>0,所以θ+为第三象限角,所以sin=-,所以sinθ+cosθ=2=2sin=-. 5.已知，，则    【解析】∵sin+sinα=sinαcos+cosαsin+sinα=,∴=-,∴cos=-,∴cos. 6.若，则   【解析】由已知化简原式得sin θ +cos θ= 3sinθ,则2sin θ=cos θ,∴tan θ=. 7.设为第四象限的角，，则     【解析】∵θ为第四象限角,cos θ=,∴sin θ=-,∴sin 2θ=2sin θcos θ=2×(-)×=-. 8.已知为第二象限角，，则tan=   【解析】由题意得cos α=-=-,则tan α==-2,故tan =-. 9.已知，，则的值等于  【解析】本题考查三角恒等变换以及同角基本关系式,属于基础题.  ∵tan=-7,∴=-7,得tan α=-,即=-, 又∵α∈,∴α∈,又∵sin 2α+cos 2α=1,∴sinα=. 10.已知，则=     【解析】  cos2. 1 / 1 $$第五讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 1.两角的和与差： 2.二倍角公式： 降幂公式： 半角公式：； 注：①在含有根式的三角函数式化简中要注意符号的选取；当的终边在直线的上方时；当的终边在直线的下方时； ②在恒等变换时要注意等价性和准确性 考点一　三角函数式的求值问题 例1.若，且，则角的终边所在象限为 例2.若角的终边过点，则 例3. [2017·高考山东卷(文)]已知，则 随3.1已知为