1.3.2 球的体积和表面积（练习）-2020-2021学年高一数学精品备课课件资源（人教A版必修2）

1.3.2球的体积和表面积 一、选择题 1.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 【答案】C 【解析】如图所示，设球的半径为R， ∵∠AOB＝90°， ∴S△AOB＝R2. ∵V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB， 而△AOB的面积为定值， ∴当点C到平面AOB的距离最大时，三棱锥O－ABC的体积最大， ∴当动点C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，三棱锥O－ABC的体积最大， 此时V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 解得R＝6， 则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.故选C. 2.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 【答案】C 【解析】由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得 V＝××3＋××1×1×1＝＋，故选C. 3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】A 【解析】如图，作出球的一个截面， 则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)． 设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， ∴R＝5. ∴V球＝π×53＝π(cm3)． 4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 【答案】C 【解析】由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C. 5.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　) A．3π B．4π C．3π D．6π 【答案】A 【解析】以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体，则正方体内接于球．正方体棱长为1，则对角线长为球的直径，∴2R＝，∴S球＝4πR2＝3π. 6.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(　　) A．372 B．360 C．292 D．280 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体． ∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360. 7.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A．2π＋2 B．4π＋2 C．2π＋ D．4π＋ 【答案】C 【解析】该空间几何体由一个圆柱和一个四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋. 8.在底面直径和高均为a的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为(　　) A．πa2 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出圆锥的轴截面，设内接圆柱的高为h，底面半径为r(0＜r＜)，则根据三角形相似， 可得＝，可得h＝a－2r， ∴内接圆柱的侧面积为 S＝2πr(a－2r)＝－4π(r－)2＋， 当且仅当r＝时，侧面积有最大值. 故选B. 9.如图直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP＝C1Q，则四棱锥B－APQC的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不妨设三棱柱是正三棱柱， 设底面边长a和侧棱长h均为1， 则V＝SABC·h＝·1··1＝， 认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点， 则VB－APQC＝SAPQC·＝×(其中表示的是三角形ABC边AC上的高)， 所以VB－APQC＝V. 故选B. 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) A． B．3π C． D．6π 【答案】B 【解析】将三视图还原为实物图求体积． 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的， 所以V＝×π×12×4＝3π. 二、填空题 11.如图，正