专题1.3 抛物线与相似三角形-九年级下册初三数学【新课程同步训练】人教版

九年级下册 （人教版） 数学 或 P 4 （ -2 ， 0 ）， Q 4 （ 2 ， 0 ） ． （三） 抛物线与相似三角形 1. 解： （ 1 ） 将 A （ 0 ， 3 ）， C （ -3 ， 0 ） 代入 y＝ 1 2 x 2 +bx+c 得 c=3 ， 9 2 -3b+c=0 0 ， 解得 b= 5 2 ， c=3 0 . ∴ 抛物线的解析式是 y＝ 1 2 x 2 + 5 2 x+3. （ 2 ） 将直线 y＝ 1 2 x+3 表达式与二次函数表达式联立并解得 x＝0 或 x＝-4 ， ∵A （ 0 ， 3 ）， ∴B （ -4 ， 1 ） ① 当点 B ， C ， M 三点不共线时， |MB-MC|＜BC ② 当点 B ， C ， M 三点共线时， |MB-MC|＝BC ， ∴ 当点 B ， C ， M 三点共线时， |MB-MC| 取最大值， 即为 BC 的长， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 在 Rt△BEC 中， 由勾股定理得 BC＝ BE 2 +CE 2 姨 ＝ 2 姨 ， ∴|MB-MC| 取最大值为 2 姨 . （ 3 ） 存在点 P 使得以 A ， P ， Q 为顶点的三角形与 △ABC 相似 ． 设点 P 坐标为 x ， 1 2 x 2 + 5 2 x+ + & 3 （ x＞0 ）， 在 Rt△BEC 中， ∵BE＝CE＝1 ， ∴∠BCE＝45° ， 在 Rt△ACO 中， ∵AO＝CO＝3 ， ∴∠ACO＝45° ， ∴∠ACB＝180°-45°-45°＝90° ， AC＝3 2 姨 . 如图， 过点 P 作 QP⊥PA 于点 P ， 交 y 轴于 Q ， 则 ∠APQ＝90° ， 过点 P 作 PG⊥y 轴于点 G. ∵∠PQA＝∠APQ＝90° ， ∠PAG＝∠QAP ， ∴△PGA∽△QPA. ∵∠PGA＝∠ACB＝90°． ∴① 当 PG AG = BC AC = 1 3 时， △PAG∽△BAC ， ∴ x 1 2 x 2 + 5 2 x+3-3 ＝ 1 3 ， 解得 x 1 ＝1 ， x 2 ＝0 （舍去） . ∴ 点 P 的纵坐标为 1 2 ×1 2 + 5 2 ×1+3＝6. ∴ 点 P 为 （ 1 ， 6 ） . ② 当 PG AG = AC BC =3 时， △PAG∽△ABC ， ∴ x 1 2 x 2 + 5 2 x+3-3 ＝3 ， 解得 x 1 ＝- 13 3 （舍去）， x 2 ＝0 （舍去）， ∴ 此时无符合条件的点 P. 综上所述， 存在点 P （ 1 ， 6 ） ． 2. 解： （ 1 ） 当 x＝-4 时， y＝ 1 3 × （ -4 ） 2 + 7 3 × （ -4 ） ＝-4 ， ∴ 点 A 坐标为 （ -4 ， -4 ） . 当 y＝-2 时， 1 3 x 2 + 7 3 x＝-2 ， 解得 x 1 ＝-1 ， x 2 ＝-6. ∵ 点 A 在点 B 的左侧， ∴ 点 B 坐标为 （ -1 ， -2 ） . （ 2 ） 如图 1 ， 过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E ， 过点 B′ 作 B′G⊥x 轴于点 G ， ∴∠BEO＝∠OGB′＝90° ， OE＝1 ， BE＝2. ∵ 将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到 △A′OB′. ∴OB＝OB′ ， ∠BOB′＝90° ， ∴∠BOE+∠B′OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ， ∴∠B′OG＝∠OBE. 在 △B′OG 与 △OBE 中， ∠OGB′=∠BEO ， ∠B′OG=∠OBE ， B′O=OB B , , , + , , , - ， ∴△B′OG≌△OBE （ AAS ） . ∴OG＝BE＝2 ， B′G＝OE＝1. ∵ 点 B′ 在第四象限， ∴B′ （ 2 ， -1 ） . E F 2 F 1 B A O G B′ M y x A′ 图 1 第 1 题答图 E C y x B O A G Q P l 188 参 考 答 案 同理可求得 A′ （ 4 ， -4 ）， ∴OA＝OA′＝ 4 2 +4 2 姨 =4 2 姨 . ∵ 抛物线 F 2 ： y＝ax 2 +bx+4 经过点 A′ ， B′ ， ∴ 16a+4b+4=-4 ， 4a+2b+4=-1 1 ， 解得 a= 1 4 ， b=-3 1 . ∴ 抛物线 F 2 解析式为 y＝ 1 4 x 2 -3x+4.∴ 对称轴为直线 x＝- -3 2× 1 4 ＝6. ∵ 点 M 在直线 x＝6 上， 设 M （ 6 ， m ）， ∴OM 2 ＝6 2 +m 2 ， A′M 2 ＝ （ 6-4 ） 2 + （ m+4 ） 2 ＝m 2 +8m+20. ∵ 点 A′ 在以 OM 为直径的圆上， ∴∠OA′M＝90°.