专题1.4 抛物线与面积-九年级下册初三数学【新课程同步训练】人教版

九年级下册 （人教版） 数学 （四） 抛物线与面积 1. 抛物线与多边形面积 （求面积、 面积相等、 面积倍分） 1. 解： （ 1 ） 将点 A （ 3 ， 0 ）、 点 B （ -1 ， 0 ） 代入 y=x 2 +bx+c ， 可得 b=-2 ， c=-3 ， ∴y=x 2 -2x-3. （ 2 ） ∵C （ 0 ， -3 ）， ∴S △DBC = 1 2 ×6×1=3. ∴S △PAC =3. 设 P （ x ， 3 ）， 直线 CP 与 x 轴交点为 Q ， 则 S △PAC = 1 2 ×6×AQ ， ∴AQ=1. ∴Q （ 2 ， 0 ） 或 Q （ 4 ， 0 ） . ∴ 直线 CQ 为 y= 3 2 x-3 或 y= 3 4 x-3. 当 y=3 时， x=4 或 x=8 ， ∴P （ 4 ， 3 ） 或 P （ 8 ， 3 ） . 2. 解： （ 1 ） 将点 C （ 0 ， -3 ） 代入 y＝ （ x-1 ） 2 +k ， 得 k＝-4 ， ∴y＝ （ x-1 ） 2 -4＝x 2 -2x-3. （ 2 ） 令 y＝0 ， x＝-1 或 x＝3 ， ∴A （ -1 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ）， ∴AB＝4. 抛物线顶点为 （ 1 ， -4 ）， 当 P 位于抛物线顶点时， △ABP 的面积有最大值， S＝ 1 2 ×4×4＝8. （ 3 ） ① 当 0＜m≤1 时， h＝-3- （ m 2 -2m-3 ） ＝-m 2 +2m. 当 1＜m≤2 时， h＝-3- （ -4 ） ＝1 ； 当 m＞2 时， h＝m 2 -2m-3- （ -4 ） ＝m 2 -2m+1 ； ② 当 h＝9 时若 -m 2 +2m＝9 ， 此时 Δ＜0 ， m 无解； 若 m 2 -2m+1＝9 ， 则 m＝4 或 -2 （舍）， ∴P （ 4 ， 5 ）， ∵B （ 3 ， 0 ）， C （ 0 ， -3 ）， ∴△BCP 的面积 ＝ 1 2 ×8×4- 1 2 ×5×1- 1 2 × （ 4+1 ） ×3＝6. 3. 解： （ 1 ） 抛物线的解析式为 y＝a （ x+1 ）（ x-3 ） ＝a （ x 2 -2x-3 ）， 即 c＝-3a ， 则 点 C （ 0 ， -3a ） . （ 2 ） 如图 1 ， 过点 B 作 y 轴的平行线 BQ ， 过点 D 作 x 轴的平行线分别 交 y 轴于点 P ， 交 BQ 于点 Q ， ∵∠DCP+∠PDC＝90° ， ∠PDC+∠QDB＝90° ， ∴∠QDB＝∠DCP ， 设 D （ 1 ， n ）， 点 C （ 0 ， -3a ）， ∠CPD＝∠BQD＝90° ， ∴△CPD∽△DQB ， ∴ CP DQ = PD BQ = CD BD . 其中 CP＝n+3a ， DQ＝3-1＝2 ， PD＝1 ， BQ＝n ， CD＝-3a ， BD＝3 ， 将以上数值代入比例式并解得 a＝± 5 姨 5 ， ∵a＜0 ， 故 a＝- 5 姨 5 ， 故抛物线的解析式为 y＝- 5 姨 5 x 2 + 2 5 姨 5 x+ 3 5 姨 5 . （ 3 ） 如图 2 ， 连接 OD 交 BC 于点 H ， 则 DO⊥BC ， 过点 H ， D 分别作 x 轴的垂线交于点 N ， M ， 设 OC＝m＝-3a ， S 1 ＝S △OBD ＝ 1 2 ×OB×DM＝ 3 2 DM ， S 2 ＝S △OAC ＝ 1 2 ×1×m ， 而 S 1 S 2 ＝ 2 3 ， 则 DM＝ 2m 9 ， HN＝ 1 2 DM＝ m 9 ＝ 1 9 OC ， ∴BN＝ 1 9 BO＝ 1 3 ， 则 ON＝3- 1 3 ＝ 8 3 ， 则 DO⊥BC ， HN⊥OB ， ∴∠BHN＝∠HON. ∴tan∠BHN＝tan∠HON. ∴ BN HN = HN ON . 则 HN 2 ＝ON×BN＝ 8 9 ＝ m 9 9 ( 2 ， 解得 m＝±6 2 姨 （舍去负值）， CO＝|-3a|＝6 2 姨 ， y xA D C O NB M H 图 2 第 3 题答图 图 1 P Q C A O B D y x 192 参 考 答 案 解得 a＝±2 2 姨 . 4. 解： （ 1 ） y=x+2 ， 令 x=0 ， 则 y=2 ， 令 y=0 ， 则 x=-2 ， 故点 A ， B 的坐标分别为 （ -2 ， 0 ）， （ 0 ， 2 ）， 则 c=2 ， 则函数表达式为 y=ax 2 +bx+2 ， 将点 A 坐标代入上式并整理得 b=2a+1. （ 2 ） 当 x<0 时， 若 y=ax 2 +bx+c （ a<0 ） 的函数值随 x 的增大而增大， 则函数对称轴 x=- b 2a ≥0 ，